Valeur principale de Cauchy

En mathématiques, la valeur principale de Cauchy, appelée ainsi en l'honneur de Augustin Louis Cauchy, associe une valeur à certaines intégrales impropres qui resteraient autrement indéfinies.

Définition

Soit c une singularité d'une fonction d'une variable réelle f et supposons que pour a < c < b, la limite suivante

$\lim_{\epsilon\to 0} \int_a^{c-\epsilon} f(x)\mathrm dx + \lim_{\eta\to 0}\int_{c+\eta}^b f(x)\mathrm dx = L$

existe et est finie. Alors, on dit que l'intégrale impropre de f(x) sur l'intervalle existe et sa valeur est définie par L.

Si la limite ci-dessus n'existe pas, il est toutefois possible qu'elle existe lorsque $\epsilon$ et η tendent vers zéro en restant égaux, c'est-à-dire si la limite

$\lim_{\epsilon\to 0} \left(\int_a^{c-\epsilon} f(x)\mathrm dx + \int_{c+\epsilon}^b f(x)\mathrm dx\right) = L$

existe et est finie. Dans ce cas là, on appelle la limite L la valeur principale de Cauchy de l'intégrale impropre ce que l'on écrit :

$\mathrm{v.p.}\int_a^b f(x)\mathrm dx = L$

La définition s'étend comme suit^{[réf. souhaitée]} au cas avec n singularités a < x₁,...,x_n < b :

si pour ε > 0 les intégrales $\int_{a}^{x_1-\epsilon}f(x)\mathrm dx,\ldots,\int_{x_n+\epsilon}^{b}f(x)\mathrm dx$ existent et sont finies et que la limite

$\lim_{\epsilon\to 0}\left(\int_a^{x_1-\epsilon}f(x)\mathrm dx + \dots + \int_{x_n+\epsilon}^{b}f(x)\mathrm dx\right) = L$

existe, on pose : $\mathrm{v.p.}\int_a^b f(x)\mathrm dx = L$.

Exemples

Fonction puissance

Article détaillé : fonction puissance.

Figure 1: Illustration de l'intégrale impropre de la fonction x ^{− 3}.

Soit la fonction f définie par f(x) = x ^{− 3} illustrée à la figure 1 ci-contre, on a :

$\lim_{\epsilon\to 0}\int_{-\infty}^{-\epsilon} {\mathrm dx\over x^3} + \lim_{\eta \to 0}\int_{\eta}^{+\infty}{\mathrm dx\over x^3} = \lim_{\epsilon\to 0} {-1\over 2\epsilon^2}+\lim_{\eta\to 0}{1\over 2\eta^2}$

Cette limite n'existe pas lorsque $\epsilon$ et η tendent vers zéro indépendamment. Par contre, en posant $\eta = \epsilon$, la limite existe et vaut zéro. On a par conséquent :

$\mathrm{v.p.}\int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm dx\over x^3}= 0$

Ce qui correspond à l'intuition puisque la fonction est impaire et que l'on intègre sur un intervalle symétrique.

Logarithme intégral

Article détaillé : Logarithme intégral.

La fonction logarithme intégral joue un grand rôle en théorie analytique des nombres. Elle est définie par

$\mathrm{li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{\ln (t)}.$

Il faut voir cette définition comme la valeur principale de Cauchy :

$\mathrm{li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{\mathrm{d}t}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{\ln (t)} \right).$

Voir aussi

• Intégrale impropre

Références

• E.T. COPSON, An Introduction to the Theory of Functions of a Complex Variable, Oxford University Press, 1955, ISBN 0-198-53145-1
• Murray R. SPIEGEL, Variables Complexes, Schaum, ISBN 2-7042-0020-3