Variable aléatoire

Variable aléatoire
Page d'aide sur l'homonymie Cet article concerne les variables aléatoires dans leur généralité. Pour les variables aléatoires à valeurs réelles, voir variable aléatoire réelle. Pour les variables aléatoires multivariées ou vecteurs aléatoires, voir vecteur aléatoire.

Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire est souvent à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie) et on parle alors de variable aléatoire réelle : \ \scriptstyle X\ :\ \omega\ \mapsto\ X(\omega)\in\R. La variable aléatoire peut aussi associer à chaque éventualité un vecteur de \scriptstyle \R^n ou \scriptstyle \C^n, et on parle alors de vecteur aléatoire : \ \scriptstyle\ X\ :\ \omega\ \mapsto\ X(\omega)\in\R^n ou \scriptstyle\ X\ :\ \omega\ \mapsto\ X(\omega)\in \C^n. La variable aléatoire peut encore associer à chaque éventualité une valeur qualitative (couleurs, Pile ou Face), ou même une fonction (p.e. une fonction de \ \scriptstyle C(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}^d)), et on parlera alors de processus stochastique.

Ce furent les jeux de hasard qui amenèrent à concevoir les variables aléatoires, en associant à une éventualité (résultat du lancer d'un dé, d'un tirage à pile ou face, d'une roulette, ...) un gain. Cette association éventualité-gain a donné lieu par la suite à la conception d'une fonction de portée plus générale. Le développement des variables aléatoires est associé à la théorie de la mesure.

Définition —  Soient \ \scriptstyle (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) un espace probabilisé et \ \scriptstyle (E, \mathcal{E}) un espace mesurable. On appelle variable aléatoire de \ \scriptstyle\Omega vers \ \scriptstyle E, toute fonction mesurable \ \scriptstyle X\ de \ \scriptstyle\Omega vers \ \scriptstyle E.

Cette condition de mesurabilité de \ \scriptstyle X assure que l'image réciproque par \ \scriptstyle X de tout élément \ \scriptstyle B de la tribu \ \scriptstyle \mathcal{E} possède une probabilité et permet ainsi de définir, sur \ \scriptstyle (E, \mathcal{E}), une mesure de probabilité, notée \ \scriptstyle \mathbb{P}_X, par

\mathbb{P}_X(B) = \mathbb{P}\left(X^{-1}(B)\right) = \mathbb{P}\left(X\in B\right).

La mesure \ \scriptstyle \mathbb{P}_X est l'image, par l'application \ \scriptstyle X\ , de la probabilité \ \scriptstyle \mathbb{P} définie sur \ \scriptstyle (\Omega, \mathcal{F}).

Définition —  La probabilité \ \scriptstyle \mathbb{P}_X est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire \ \scriptstyle X\ .

Exemples

Dans la suite, \ \scriptstyle \mathcal{B}(E) désigne la tribu borélienne de l'espace topologique \ \scriptstyle E.

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