Variable de contrôle

Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle peut être utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.

Exposé du principe

On cherche à estimer le paramètre μ, et on dispose d'une estimation m non-biaisée de μ ; autrement dit, $\mathbb{E}\left[m\right]=\mu$. On dispose d'une autre statistique t, telle que $\mathbb{E}\left[t\right]=\tau$, et sa corrélation avec m, ρ_mt, est connue. En supposant connues toutes ces constantes, on peut construire un nouvel estimateur, pour une constante c donnée:

$m^{\star}=m-c\left(t-\tau\right).$

On montre que cet estimateur est un estimateur non-biaisé de μ, quel que soit le choix de la constante c. En outre, on peut montrer que le choix

$c=\frac{\sigma_m}{\sigma_t}\rho_{mt}$

permet de minimiser la variance $\sigma^2_{m^{\star}}$ de $m^{\star}$. Pour ce choix de c, la variance de l'estimateur vaut alors

$\sigma^2_{m^{\star}} = \left(1-\rho_{mt}^2\right) \sigma^2_{m}$;

Par construction, la variance de $m^{\star}$ sera inférieure à celle de l'estimateur initial m, d'où le terme de réduction de variance. Plus la corrélation $\vert\rho_{tm}\vert$ est importante, plus la réduction de la variance sera importante.

Lorsque les écart-type σ_m, σ_t, et/ou la corrélation ρ_mt sont inconnus, on peut les remplacer par leurs estimations empiriques.

Exemple

On souhaite évaluer

$\int_0^1 \frac{1}{1+t} \,\mathrm{d}t$

dont la vraie valeur est ln(2) = 0,69315. Puisque cette intégrale peut être vue comme l'espérance de f(U), avec U la loi uniforme continue et f(x) = (1 + x) ^{− 1}, une estimation de Monte-Carlo est envisageable.

L'estimation classique se base sur un échantillon de n tirages de la loi uniforme $u_1, \cdots, u_n$ et vaut

$I_n = \frac{1}{n} \sum_i f(u_i)$

On introduit comme variable de contrôle T = 1 + U. Cette variable est uniforme, son espérance vaut 3/2 et sa variance 1/12. Par construction, sa covariance avec f(U) est

$1-{3 \over 2} \times \mathrm{E}(m) = -\frac{3\log 2 -2}{2}$.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on peut continuer à évaluer exactement toutes les autres quantités entrant en jeu dans la méthode ; mais le plus pratique reste de remplacer tous les moments par leur contrepartie empirique. Avec un échantillon de n = 1500 réplications, on trouve σ_m = 0,14195, ρ = − 0,98430 et σ_t = 0,29002. La constante optimale vaut -0,48175. On trouve les résultats suivants :

	Estimation	Variance
Monte Carlo basique	0,69631	0,02015
Monte Carlo – contrôle	0,69356	0,00063

Grâce à la corrélation massivement négative avec la variable de contrôle, on parvient à réduire très significativement la variance de l'estimateur de Monte-Carlo.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Control variate » (voir la liste des auteurs)

Bibliographie

• (en) M. Kahn et A. W. Marshall, Methods of reducing sample size in Monte-Carlo computations, Operations Research, 1, 263, 1953.

Références

• (en) Averill M. Law & W. David Kelton, Simulation Modeling and Analysis, 3^e édition, 2000, ISBN 0-07-116537-1
• (en) S. P. Meyn. Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press, 2007. ISBN 9780521884419. en ligne

Liens internes

• Méthode de Monte-Carlo;
• Techniques de réduction de la variance:
  • échantillonnage préférentiel (mieux connue sous le terme anglais importance sampling);
  • variable antithétique;
  • stratification;
  • conditionnement.