Variations bornées

Fonction à variation bornée

En analyse, une fonction est dite à variation bornée quand elle vérifie une certaine condition de régularité. Cette condition a été introduite en 1881 par le mathématicien Camille Jordan pour étendre le Théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.

Définition

Soit f une fonction définie sur le compact [a,b] à valeur dans $\R$.

Pour chaque subdivision $\sigma =(a=x_0 ,x_1 ,\ldots ,x_n =b) \in \mathcal S ([a,b])$, on définit V(f,σ) par :

$V(f,\sigma) \doteqdot \sum_{i=1}^{n} \left| f(x_i) - f(x_{i-1}) \right|$.

On appelle variation totale de f la valeur $V^{b}_{a} \in \bar{\R}$ définie par :

$V^{b}_{a}(f) \doteqdot \sup_{\sigma \in \mathcal S ([a,b])} V(f,\sigma )$

On dit que f est à variation bornée si $V^{b}_{a}(f)$ est fini.

Plus généralement, une fonction définie sur un intervalle quelconque est à variation bornée si $V^{y}_{x}(f)$ est fini quels que soient x et y dans l'intervalle.

Propriétés

• Les fonctions à variation bornée forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de [a,b] dans $\R$.
• Toute fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ est à variation bornée, toute fonction monotone également.
• Toute fonction à variation bornée est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.
• Toute fonction à variation bornée est différence de deux fonctions croissantes. A fortiori, l'espace vectoriel des fonctions à variation bornée est engendré par l'ensemble des fonctions croissantes ; on en déduit également que les fonctions à variation bornée ont au plus une infinité dénombrable de points de discontinuité et sont dérivables presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue).
• Si f est intégrable au sens de Lebesgue sur un intervalle I, alors, pour a fixé dans I la fonction $x\mapsto F(x)=\int_a^xf(t)dt$ est à variation bornée. En effet, $V_a^x(F)\le\int_a^x\vert f(t)\vert dt\le\int_I \vert f(t)\vert dt$

Voir aussi

• Intégrale
• Absolue continuité

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