Variete topologique

Variété topologique

Définition

Soit V un espace topologique séparé à base dénombrable. On dit que V est une variété topologique s'il existe un entier naturel n tel que tout point $x \in V$ admet un voisinage homéomorphe à un ouvert de $\R^{n}$

Intérêt de la clause de séparation

L'utilisation des variétés comme espaces de configuration pour la physique rend la clause de séparation naturelle : il est possible de discerner entre deux états distincts du système, même si on applique une petite perturbation à chacun.

Un exemple d'espace localement homéomorphe à la droite réelle mais qui ne vérifie pas la condition de séparation de Hausdorff est donné en formant une « droite réelle avec un point double ». Pour cela on identifie deux droites réelles, sauf en un point : les ensembles R × {a} et R × {b} sont soumis à la relation d'identification

$(x,a) \sim (x,b)\;$ quand $\,x \neq 0\;$

Dans l'espace quotient tout voisinage de 0_a intersecte tout voisinage de 0_b.

Invariance de la dimension

Il existe un unique entier naturel n tel que V est localement homéomorphe à un ouvert de $\R^{n} \,$, et on l'appelle dimension de la variété topologique $V \,$. Ce résultat n'est pas trivial.

Certains auteurs généralisent la définition de variété topologique en permettant que la dimension puisse varier d'un point à l'autre, et alors une variété topologique telle que définie plus haut est dite pure. Si la variété topologique est connexe, alors elle est nécessairement pure.

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