Équation de propagation des ondes

Équation d'onde

L'équation d'onde est l'équation générale qui décrit la propagation d'une onde, qui peut être représentée par une grandeur scalaire ou vectorielle.

Dans le cas vectoriel, en espace libre, dans un milieu homogène, linéaire et isotrope, l'équation d'onde s'écrit :

$\nabla ^2 \vec E=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2\vec E}{\partial t^2}$

L'opérateur

$\nabla^2=\Delta=\sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$

(où N est la dimension de l'espace) est appelé laplacien et on note parfois

$\square=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta$

l'opérateur d'onde, ou d'alembertien.

$\vec E$ décrit à la fois l'amplitude de l'onde, et sa polarisation (par son caractère vectoriel). c est assimilable à la vitesse de propagation de l'onde, comme nous le verrons plus bas. {c} pour sa part est une constante fixe égale à la vitesse de la propagation de l'onde, par exemple la vitesse du son qui est de 343m/s dans l'air à 20 °C. Dans le cas de phénomènes plus complexes tels la propagation de l'onde variant avec sa fréquence (soit la dispersion), on remplace {c} par la vélocité de phase:

$v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.$

En s'intéressant à chacune des composantes de $\vec E$ (en projetant la relation dans chacune des directions de l'espace), nous obtenons une équation portant sur un scalaire, appelée équation de d'Alembert :

$\Delta U=\frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 U}{\partial t^2}$

L'équation en dimension 1 d'espace

En dimension 1 d'espace, l'équation s'écrit

$\frac {\partial ^2 U}{\partial z^2}=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2 U}{\partial t^2}$

Lorsque la variable z parcourt toute la droite réelle, la solution générale de cette équation est la somme de deux fonctions :

$U(z,t)=f(z-ct)+g(z+ct)\!$

En effet, on peut écrire :

$\left(\frac {\partial ^2}{\partial z^2}-\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2}{\partial t^2}\right) U(z,t) = 0$

soit :

$\left(\frac {\partial}{\partial z}-\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right)\left(\frac {\partial}{\partial z}+\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right) U(z,t) = 0$

Et si l'on pose a=z-ct et b=z+ct, on obtient :

$\left(\frac {\partial}{\partial a}\right)\left(\frac {\partial}{\partial b}\right) V(a,b) = 0$ où $V(a,b)= U(\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2c})$

Qui se résout en : V(a,b) = f(a) + g(b) soit U(z,t) = f(z − ct) + g(z + ct)

Le premier terme est une onde se propageant dans le sens des z croissants (appelée onde progressive), et le deuxième terme dans le sens des z décroissants (appelée onde régressive).

Exemple : Onde sur une corde vibrante

Équation d'onde en dimension supérieure

Conservation de l'énergie

Si u est une solution de l'équation des ondes alors l'énergie

$E(u(t))=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N} \left|\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)\right|^2\mathrm{d}x+\frac{c^2}{2}\int_{\mathbb{R}^N} \left|\nabla u(t,x)\right|^2\mathrm{d}x$

est conservée au cours du temps. Ici on a noté N la dimension d'espace et

$\left|\nabla u(t,x)\right|^2=\sum_{j=1}^{N} \left|\frac{\partial u}{\partial x_j}(t,x)\right|^2$

Équation dans un domaine borné avec condition au bord

On peut également considérer l'équation des ondes dans un domaine de l'espace D:

$\square u(t,x) =0\quad t\in\mathbb{R},\quad x\in D$

avec des conditions aux limites, par exemple:

$u(t,x)=0,\quad t\in \mathbb{R},\quad x \in \partial D$

(conditions aux limites de Dirichlet) où $\partial D$ est le bord du domaine D, ou

$\partial_{\nu} u(t,x)=0,\quad t\in\mathbb{R},\quad x\in \partial D$

(conditions aux limites de Neumann) où $\partial_{\nu}$ est la dérivée normale extérieure au bord $\partial D$

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