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Équipotence
En théorie des ensembles, deux ensembles E et F sont dits équipotents, ce que l'on peut noter E ≈ F, s'il existe une bijection de E sur F. On dira alors que deux ensembles équipotents ont la même cardinalité, ou encore, quand il s'agit d'ensembles finis, le même nombre d'éléments.
Dans tout ensemble d'ensembles, la relation d'équipotence est une relation d'équivalence, dont l'ensemble quotient peut être assimilé à un ensemble de cardinaux. Dans la théorie des ensembles ZFC (ou ZF ou même Z), la relation, généralisée à tous les ensembles est bien définie, on peut bien-sûr écrire que deux ensembles sont équipotents dans le langage de la théorie des ensembles, mais le graphe de cette relation n'est pas un ensemble de couples, on dit que c'est une classe propre. Cela résulte de ce que la classe de tous les ensembles est elle-même une classe propre (sinon on aurait une théorie contradictoire par le schéma d'axiomes de compréhension et le paradoxe de Russell).
La classe d'équipotence d'un ensemble donné, c'est-à-dire sa classe d'équivalence pour cette « relation », est également parfaitement définie, mais c'est aussi une classe propre dès que cet ensemble est non vide (on construirait sinon par réunion un ensemble de tous les ensembles).
Par conséquent si l'on définit les cardinaux comme des classes d'équipotence, on a de fortes limitations sur leur maniement. Pas question de parler d'ensembles ni de classes de cardinaux. Ce ne sont tout simplement pas des objets des théories des ensembles à la ZFC.
La théorie des classes de von Neumann, Bernays et Gödel, dans laquelle les classes sont des objets de la théorie, alors que, dans ZFC, elles sont représentées par des prédicats, a cependant les mêmes limitations sur leur maniement, internalisées par l'axiomatisation de la théorie.
Une façon de remédier à cette situation est de construire de façon uniforme un représentant unique par classe d'équipotence. On utilise pour cela les ordinaux, un cardinal étant, selon une définition qui apparait déjà chez Georg Cantor, un ordinal qui n'est pas équipotent à un ordinal strictement plus petit. La définition des ordinaux pose cependant le même genre de problèmes (pour les classes d'isomorphie de bons ordres), et c'est John von Neumann qui en a donné la construction usuelle. cette définition nécessite le schéma d'axiomes de remplacement, et donc la théorie ZF, pour avoir suffisamment d'ordinaux, et l'axiome du choix, et donc finalement la théorie ZFC, pour qu'il y ait bien au moins un ordinal, et donc exactement un cardinal, dans chaque classe d'équipotence (on montre effet, grâce à l'axiome du choix, que tout ensemble est bien ordonné, et grâce au schéma de remplacement que tout bon ordre est isomorphe a un ordinal de von Neumann).
Il est cependant tout à fait possible de développer les aspects les plus élémentaires de la cardinalité en termes d'équipotence, tant que l'on s'intéresse par exemple à des comparaisons de cardinaux. L'équipotence fournit l'égalité des cardinaux. La subpotence — l'existence d'une injection d'une ensemble dans un autre — est compatible avec l'équipotence et la subpotence stricte — subpotent mais pas équipotent — également. Cela permet de définir égalité et ordre entre classes cardinales, sachant qu'au fond, il s'agit juste d'une « façon de parler » de l'équipotence et de la subpotence.
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