Foncteur adjoint

La notion d'adjonction est fondamentale. Elle généralise la notion d'équivalence entre deux catégories. En effet, si $F: \mathcal{C}\to \mathcal{D}$ et $G: \mathcal{D}\to \mathcal{C}$ définissent une équivalence de catégorie entre $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$, alors, F et G sont adjoints l'un à l'autre (et ce, « de tous les côtés possibles » : à droite et à gauche ou à gauche et à droite).

Définition

Soient C et D deux catégories, F un foncteur de C dans D et G de D dans C tels que pour tout objet $X \in C$ et $Y \in D$ on ait une bijection naturelle en chaque variable $Hom _ D \left( F \left (X \right), Y\right) \approx Hom _ C \left( X , G \left (Y \right) \right)$. Alors F et G sont des foncteurs adjoints, F est adjoint à gauche de G et G est adjoint à droite de F.

Exemples

• Le foncteur k-espace vectoriel libre et le foncteur oubli.
• Le module libre sur un ensemble et le foncteur d'oubli.
• Le foncteur de $\mathcal(Top)$ dans $\mathcal(Set)$ qui associe à un espace topologique l'ensemble sous-jacent, admet un adjoint à gauche et un adjoint à droite. Son adjoint à gauche est le foncteur qui associe à un ensemble le même ensemble muni de la topologie discrète et son adjoint à droite est celui qui le munit de la topologie grossière.
• Le foncteur de $\mathcal(Grp)$ dans $\mathcal(Ab)$ qui associe à un groupe son quotient par le groupe dérivé admet un adjoint à droite qui est le foncteur qui associe à un groupe commutatif dans $\mathcal(Ab)$ lui même dans $\mathcal(Grp)$.

Propriétés

Tout foncteur admettant un adjoint à gauche (lui-même adjoint à droite) commute aux produits, aux noyaux de double flèches, aux produits fibrés et aux limites projectives. Tout foncteur admettant un adjoint à droite (lui-même adjoint à gauche) commute aux sommes, aux conoyaux de double flèches, aux sommes amalgamées et aux limites inductives.

Exemple

Le foncteur oubli commute avec les produits mais pas avec les sommes dans les exemples ci-dessus. Un produit direct de module, d'espaces vectoriels, de groupe, etc., se construit sur le produit cartésien mais la somme ne se construit pas sur l'union disjointe. Dans la catégorie des espaces topologiques par contre, la somme se construit sur l'union disjointe.