Algèbre de Leibniz

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En mathématiques, une algèbre de Leibniz (droite), ainsi nommée d'après Gottfried Wilhelm Leibniz, et parfois appelée algèbre de Loday, d'après Jean-Louis Loday, est un module L sur un anneau commutatif R muni d'un produit bilinéaire [-,-], appelé crochet, satisfaisant l'identité de Leibniz

$[[a,b],c] = [a,[b,c]]+ [[a,c],b]. \,$

En d'autres termes, la multiplication à droite par un élément c est une dérivation. Si, de plus, le crochet est alterné (i.e. [a, a] = 0) alors l'algèbre de Leibniz est une algèbre de Lie. En effet, dans ce cas [a, b] = −[b, a] et l'identité de Leibniz est équivalente à l'identité de Jacobi ([a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = 0). Inversement toute algèbre de Lie est une algèbre de Leibniz. Le module tensoriel T(V) sur l'espace vectoriel V devient une algèbre de Loday pour le produit

$[a_1\otimes \cdots \otimes a_n,x]=a_1\otimes \cdots a_n\otimes x\quad \text{pour }a_1,\ldots, a_n,x\in V.$

C'est l'algèbre de Loday libre sur V.

Les algèbres de Leibniz furent découvertes par Jean-Louis Loday en remarquant que le bord du complexe de Chevalley–Eilenberg sur le module extérieur d'une algèbre de Lie peut être remonté en un bord sur le module tensoriel, donnant ainsi un nouveau complexe. En fait, ce complexe est bien défini pour toute algèbre de Leibniz. Son homologie HL(L) est appelée homologie de Leibniz. Si L est l'algèbre de Lie des matrices (infinies) sur une R-algèbre A alors l'homologie de Leibniz de L est le module tensoriel sur l'homologie de Hochschild (en) de A.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Leibniz algebra » (voir la liste des auteurs)
• (en) Yvette Kosmann-Schwarzbach, « From Poisson algebras to Gerstenhaber algebras », dans Annales de l'Institut Fourier, vol. 46, n^o 5, 1996, p. 1243–1274 [texte intégral] 
• Jean-Louis Loday, « Une version non commutative des algèbres de Lie : les algèbres de Leibniz », dans L'Enseignement Mathématique, vol. 39, n^o 3–4, 1993, p. 269–293 [texte intégral] 
• (en) Jean-Louis Loday et Teimuraz Pirashvili, « Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology », dans Mathematische Annalen, vol. 296, 1993, p. 139–158 [texte intégral]