Algèbre de quaternions

En mathématiques, une algèbre de quaternions sur un corps commutatif est une algèbre de dimension 4 qui généralise à la fois le corps des quaternions et l'algèbre des matrices carrées d'ordre 2. Pour être plus précis, se sont les algèbres (unitaires associatives) sur un corps commutatif K, de dimension 4, de centre K et qui sont simples, c'est-à-dire qui n'ont pas d'autre idéal bilatère qu'elles-mêmes et {0}.

Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque).

Définitions et exemples

On appelle algèbre des quaternions sur K toute algèbre unitaire associative A de dimension 4 sur K qui simple (A et {0} sont les seuls idéaux bilatères) et dont le centre est K. Ce sont les algèbres simples centrales de degré 2 (dimension 4) sur K. On appelle corps de quaternions sur K toute algèbre de quaternions sur K dont l'anneau sous-jacent est un corps.

Exemples

• Si K = R, tout corps de quaternions est isomorphe à corps H des quaternions de Hamilton.
• L'algèbre M₂(K) des matrice carrée d'ordre 2 est une algèbre de quaternions sur K. Pour tout plan vectoriel E sur K, l'algèbre End_K(E) des endomorphismes de E est une algèbre de quaternions sur K. Ces deux algèbre sont isomorphes.

Conjugaison

Définition et exemples

Soit A une algèbre de quaternions sur K. Il existe un unique automorphisme J de K-espace vectoriel de A qui est involutif (J² = Id_A), qui est un antiautomorphisme de K-algèbre (J(xy) = J(y)J(x) quels que soient x et y dans A) et tel que, pour tout élément x de A, x + J(x) et xJ(x) appartiennent à K. On l'appelle conjugaison de A. Pour tout élément x de A, on appelle conjugué de x et on note $\bar x$ l'élément J(x) de A

Pour tout élément x de A, on appelle trace réduite de x et on note T(x) l'élément $x + \bar x$ de K et on appelle norme réduite de x et on note N(x) l'élément $x \bar x$ de K.

Exemples

• Dans H, le conjugué du quaternions q = a + bi + cj + dk est a - bi - cj + dk, la trace de q est 2a et la norme de q est a² + b² + c² + d².
• On se place dans l'algèbre de quaternions M₂(K) et soit M = $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}$ une matrice carrée. Alors la conjugué de M est $\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\\ \end{pmatrix}$, la trace réduite de M est la trace usuelle a + b de M et la norme réduite de M est le déterminant usuel ad - cd de M.
• Soit E un plan vectoriel sur K. On se place dans l'algèbre de quaternions End_K(E) des endomorphismes de E. Les formes bilinéaires alternées non nulles sur E sont deux à deux proportionnelles, et soit ω l'une d'elles. Pour tout endomorphisme f de E, il existe un unique endomorphisme g tel que ω(f(x), y) = ω(x, g(x)), et c'est l'adjoint de f par rapport à ω, et il est le conjugué de f dans l'algèbre de quaternions End_K(E). La trace réduite et la norme réduite de f sont la trace et le déterminant usuels de f.

Propriétés

Soit A une algèbre de quaternions sur K.

• La fonction x $\mapsto$ T(x) de A dans K est une forme linéaire non identiquement nulle.
• T(1) = 2.
• La fonction x $\mapsto$ N(x) de A dans K est une forme quadratique non dégénérée sur A. La forme bilinéaire symétrique associée à cette forme quadratique est la fonction (x, y) $\mapsto$ T($x\bar y$) de A × A dans K: quels que soient x et y dans A, on a T($x\bar y$) = N(x + y) - N(x) - N(y).
• Pour tout a dans K et pour tout x dans A, on N(ax) = a²N(x).
• Quels que soient x et y dans A, on a N(xy) = N(x)N(y).
• N(1) = 1.
• Pour qu'un élément x de A soit inversible dans A, il faut et il suffit que N(x) soit non nul. La fonction x $\mapsto$ N(x) du groupe A* des éléments inversibles de A dans K est un homomorphisme de groupes.

Une propriété fondamentale est la suivante: pour tout élément x de A, on a

x² - T(x)x + N(x) = 0.

Constructions d'algèbres de quaternions

On note A une algèbre de quaternions sur K.

Cas de caractéristique différente de 2

On suppose que la caractéristique de K est différente de 2.

Il existe une base (1, u, v, w) de A à laquelle appartient 1 telle que u² et v² appartiennent à K* et telle que uv = -vu = w.

Réciproquement, quels que soient les éléments non nuls a et b de K, il existe une unique structure d'algèbre unitaire sur K⁴ pour laquelle, si on note (e₁, e₂, e₃, e₄) la base canonique, e₁ est l'élément unité et telle que e₂² = a, e₃² = b et e₄ = e₂e₃ = -e₃e₂. On la note (a, b)_K.

Si K = R et si a = b = -1, alors elle est le corps H des quaternions de Hamilton.

Cas de caractéristique 2

On suppose que la caractéristique de K est égale à 2.

Il existe une base (1, u, v, w) de A à laquelle appartient 1 telle que u² + u et v² appartiennent à K* et telle que uv = vu + v = w.

Réciproquement, quels que soient les éléments non nuls a et b de K, il existe une unique structure d'algèbre unitaire sur K⁴ pour laquelle, si on note (e₁, e₂, e₃, e₄) la base canonique, e₁ est l'élément unité et telle que e₂² + e₂ = a, e₃² = b et e₄ = e₂e₃ = e₃e₂ + e₃². On la note [a, b)_K.

Construction à l'aide des algèbres étales quadratiques

En caractéristique quelconque, on peut construite une algèbre de quaternions à l'aide des algèbre étales quadratiques, par la construction de Cayley-Dickson (en).

Soit C une algèbre étale quadratique sur K (ce sont les algèbres isomorphes à K × K, ou qui sont des extensions quadratiques séparables sur K (en caractéristique 2, toute extension quadratique est séparable). Il existe un unique automorphisme J de C différent de l'identité, et on l'appelle conjugaison de C et a un élément non nul de K.

Sur la K-espace vectoriel Q = C × C, la multiplication définie par (x, y)(x', y') = (xx' + aJ(y')y, yJ(x')+ y'x) fait de Q une algèbre de quaternions sur K. Réciproquement, toute algèbre de quaternons sur K est isomorphe à une telle algèbre. Si K = R, C est le corps C des nombres complexes et si a = -1, alors Q est le corps H des quaternions de Hamilton.

Types d'algèbres de quaternions

On dit qu'une algèbre de quaternions est déployée (split en anglais) s'il existe un vecteur non nul x de A tel que N(x) = 0.

Toute algèbre de quaternions déployée est isomorphe à M₂(K), et donc les algèbres de quaternions déployées sur K existent et sont deux à deux isomorphes.

Les algèbres quaternions sur K qui sont non déployées ne sont autres que les corps de quaternions, et elle peuvent ne pas exister.

Algèbres de quaternions sur certains corps commutatifs

Si K = R, alors toute algèbre de quaternions sur R est soit déployée, soit isomorphe à H.

Si K est algébriquement clos (ou plus généralement si K est séparablement clos), ce qui est le cas si K = C , toute algèbre de quaternions sur K est déployée.

Si K est fini, alors toute algèbre de quaternions sur K est déployée (cela résulte du fait que tout corps fini est commutatif).

Références

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chapitre 3.
• (en) Max-Albert Knus (de), Alexander Merkurjev (de), Markus Rost (de) et Jean-Pierre Tignol, The Book of Involutions, AMS, 1998.

Articles connexes

• Algèbre simple
• Algèbre non commutative
• Quaternion
• Algèbre de composition