Anneau d'ensembles

Un anneau d'ensembles est une classe non vide de parties d'un ensemble X vérifiant deux propriétés de stabilité. Le concept, très voisin de celui d'algèbre d'ensembles, est utilisé en théorie de la mesure pour initialiser les constructions de mesures classiques qu'on étendra ensuite à la tribu engendrée par l'anneau. Vus comme parties de l'anneau de Boole de toutes les parties de X (considéré comme un pseudo-anneau), ils en sont les sous-anneaux (non nécessairement unitaires).

Définition

Définition^[1] — Un anneau d'ensembles est un ensemble $\mathcal R$ de parties d'un ensemble X qui vérifie :

1. $\mathcal R$ n'est pas vide ;
2. $\mathcal R$ est stable par différence ensembliste ;
3. $\mathcal R$ est stable par union (finie).

Une minorité de sources exigent également que X ne soit pas vide^[2] ; cette hypothèse supplémentaire n'est nulle part utilisée dans le présent article.

Propriétés élémentaires

Soit $\mathcal R$ un anneau d'ensembles. Alors :

• l'ensemble vide appartient à $\mathcal R$ (l'écrire $A\setminus A$ pour un élément A de l'ensemble non vide $\mathcal R$) ;

• $\mathcal R$ est stable par différence symétrique (on peut en effet écrire $A\Delta B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)$) ;

• $\mathcal R$ est stable par intersection (on peut en effet écrire $A\cap B=(A\cup B) \setminus (A\Delta B)$) ;

Toute algèbre d'ensembles est un anneau d'ensembles (on peut en effet écrire $A\setminus B={}^c({}^cA\cup B)$, où on note ^cE le complémentaire d'une partie E). Il existe en revanche des anneaux d'ensembles qui ne sont pas des algèbres d'ensembles, l'exemple le plus simple étant celui de $\{\varnothing\}$.

Un anneau d'ensembles sur X est une algèbre d'ensembles si et seulement si X appartient à l'anneau.

Utilisations en théorie de la mesure

Dans la généralisation de la construction de la mesure de Lebesgue que synthétise le théorème d'extension de Carathéodory, une mesure est construite sur une σ-algèbre par un procédé d'extension relativement sophistiqué, mais dont la première étape est assez simple : on construit d'abord les valeurs de la mesure sur les éléments d'un anneau d'ensembles $\mathcal A$. La construction peut avoir été initiée sur un semi-anneau d'ensembles qui engendre lui-même $\mathcal A$ (comme anneau d'ensembles).

Dans l'exemple de la mesure de Lebesgue sur la droite réelle, le semi-anneau qui initie la construction peut être l'ensemble des intervalles bornés de $\R$, et l'anneau est alors l'ensemble des réunions finies d'intervalles bornés.

Il existe des variantes de cette construction qui font intervenir des variantes de la notion de σ-algèbre : on appelle dans cette optique σ-anneau un anneau stable par réunion dénombrable et δ-anneau un anneau stable par intersection dénombrable.

Anneaux d'ensembles et algèbres de Boole

On peut donner la définition des anneaux d'ensembles sous une forme alternative :

Définition équivalente — Un ensemble $\mathcal R$ de parties d'un ensemble X est un anneau d'ensembles lorsque :

1. $\mathcal R$ n'est pas vide
2. $\mathcal R$ est stable par différence symétrique
3. $\mathcal R$ est stable par intersection (finie).

Les remarques faites plus haut ont montré que la définition initiale entraînait cette caractérisation. Réciproquement, si $\mathcal R$ vérifie les trois hypothèses qui précèdent, il est stable par différence ensembliste (puisque $A\setminus B = A\Delta (A\cap B)$) et par réunion (puisque $A\cup B=(A\Delta B)\Delta(A\cap B)$) et est donc un anneau d'ensembles.

On rappelle que l'algèbre de Boole de toutes les parties de l'ensemble X est munie d'une structure d'anneau de Boole, l'addition étant la différence symétrique (de neutre $\varnothing$) et la multiplication étant l'intersection (de neutre X). Pour cette structure, les anneaux de parties sont donc les sous-groupes additifs stables par la multiplication : ce sont donc les sous-structures pour la structure de pseudo-anneau. Quant aux algèbres de parties, ce sont, pour leur part, les sous-groupes additifs stables pour la multiplication et contenant le neutre de celle-ci : ce sont donc les sous-structures pour la structure d'anneau unitaire^[3].

Références

1. ↑ Paul Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, 1950 , p. 19, parmi d'innombrables sources possibles
2. ↑ Adriaan Zaanen, Integration, North Holland, 1967 , p. 26 ou Ole A. Nielsen, An introduction to integration and measure theory, Wiley-interscience, 1997 (ISBN 978-0-471-59518-2) , p. 125
3. ↑ La relation entre les anneaux d'ensembles et la structure d'anneau de Boole est exposée dans Halmos, op. cit., p. 21-22