Anneau simple

En mathématiques, un anneau est dit simple s'il n'admet pas d'autre idéaux bilatères que {0} et lui-même, et si de plus il n'est pas réduit à 0.

Par exemple, un corps (non nécessairement commutatif) est un anneau simple, et l'anneau des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un corps est simple. Parmi les anneaux simples, ceux qui sont artiniens sont, à isomorphismes près, les anneaux des matrices carrées d'ordre n (n quelconque) à coefficients dans un corps (quelconque).

Si K est un corps commutatif, une K algèbre (unitaire associative) est dite simple si son anneau sous-jacent est simple.

Plus généralement, un anneau commutatif est simple si et seulement si c'est un corps.

Contre-exemples.

• L'anneau Z des entiers relatifs n'est pas simple, car les n.Z tels que n ≥ 0 sont des idéaux de Z, deux à deux distincts.
• Si K est un corps commutatif, alors l'anneau K[X] des polynômes n'est pas simple.

Anneaux simples artiniens

Soit D un corps (commutatif ou non). Pour tout entier naturel non nul n, l'anneau M_n(D) des matrices carrées à coefficients dans D est un anneau simple artinien. Plus intrinsèquement, pour tout espace vectoriel E de dimension finie non nul sur D, l'anneau End_D(E) des endomorphismes de E est un anneau simple artinien. La réciproque est vraie :

Théorème de Wedderburn. Soit A un anneau. Il est équivalent de dire que:

• L'anneau A est simple et artinien ;
• L'anneau A est simple et semi-simple ;
• Il existe un entier n > 1 et un corps D tel que A est isomorphe à l'anneau M_n(D) des matrices carrées à coefficients dans D ;
• A est isomorphe à l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps.

Remarquons qu'un tel anneau n'est pas un module simple sur lui-même.

Soient D et D' des corps, n et n' des entiers > 1. Pour que les anneaux M_n(D) et M_n' (D' ) soient isomorphes, il faut et il suffit que n = n' et que les corps D et D' soient isomorphes. Soit E et E' des espaces vectoriels de dimensions finies non nulles sur D et D' . Pour que les anneaux End_D(E) et End_D' (E' ) soient isomorphes, il faut et il suffit que les corps D et D' soient isomorphes et que les dimensions de E et E' soient égales.

Donc, les anneaux simples artiniens axiomatisent les anneaux des matrices à coefficients dans des corps, et les anneaux des endomorphismes d'espaces vectoriels de dimensions finies.

Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps. Alors l'anneau End(E) n'est ni simple et ni artinien : l'ensemble des endomorphismes de E dont le rang est fini est un idéal bilatère de End(E).

Soit A un anneau simple artinien. Alors le centre de A est un corps commutatif K, et si, en considérant A comme un K-espace vectoriel, A est de dimension finie sur K, alors A est une algèbre centrale simple sur K.

Modules simples d'un anneau simple artinien

Pour tout anneau simple artinien A, les A-modules simples sont deux à deux isomorphes. En fait, pour qu'un anneau semi-simple soit simple (et donc artinien), il faut et il suffit que ses modules simples soient deux à deux isomorphes.

Soient E un espace vectoriel de dimension finie non nulle n sur D. Alors l'anneau End_D(E) est simple et artinien et de plus, pour la loi externe (f, x) $\mapsto$ f(x) de End_D(E) sur E, E est un End_D(E)-module simple, dont la longueur est n.

Réciproquement, soit A un anneau simple artinien et r la longueur du A-module A (qui est finie). Alors, les A-modules simples sont deux à deux isomorphes, et soit M un tel A-module. Alors l'anneau des endomorphisme de A-module de M est un corps D, et en considérant la loi externe (f, x) $\mapsto$ f(x) de D = End_A(M) sur M, M est un espace vectoriel de dimension finie r sur D.

Références

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chapitre 8.
• (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra II, W. H. Freeman and Compaby, New York, 1989.
• (en) Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost et Jean-Pierre Tignol, The Book of Involution, AMS, 1998.

Voir aussi

Article connexe

Algèbre semi-simple

Lien externe

Jean-Pierre Serre, Théorie des algèbres simples, Séminaire Henri Cartan