Anneau à PGCD

En algèbre commutative, un anneau à PGCD est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout couple d'éléments non nuls possède un plus grand diviseur commun. Dans un anneau quelconque, l'existence d'un tel PGCD n'est pas toujours acquise. Les anneaux intègres à PGCD représentent une classe d'anneaux aux propriétés arithmétiques intéressantes à tel point qu'il est fréquent que les anneaux à PGCD ne soient étudiés que dans les anneaux intègres^[1].

Définitions et exemples

Dans un anneau A, si a et b sont deux éléments non nuls de A, on dit que d est un PGCD (plus grand commun diviseur) de a et b si d est un diviseur de a et de b et si tout autre diviseur commun à a et b est aussi un diviseur de d.

L'existence d'un élément maximal pour l'ensemble des diviseurs communs à a et b, qui est acquise dans l'ensemble des entiers relatifs, n'est pas une propriété générale à tout anneau, ainsi dans l'anneau $\scriptstyle{\Z[i\sqrt 5]}$ les éléments $\scriptstyle a=6$ et $\scriptstyle{b=4+2i\sqrt 5}$ ne possèdent pas de PGCD.

Démonstration

Les éléments de l'anneau $\scriptstyle{\Z[i\sqrt 5]}$ s'écrivent $\scriptstyle u + i \sqrt 5 v$ avec u et v entiers relatifs. Le principe est de faire une recherche exhaustive des diviseurs communs de a et b pour démontrer qu'il n'en existe pas de maximal.

On remarque que, pour tout élément a de $\scriptstyle{\Z[i\sqrt 5]}$, le carré de son module, $\scriptstyle |a|^2=u^2+5v^2$, est un entier. Comme les propriétés de divisibilité se transmettent aux modules, il est possible d'utiliser les propriétés de divisibilité dans l'anneau $\scriptstyle \Z$ :

Soit $\scriptstyle d = u + i \sqrt 5 v$ un diviseur de $\scriptstyle a=6$ et $\scriptstyle{b=4+2i\sqrt 5}$ alors $\scriptstyle |d|^2=u^2+5v^2$ divise $\scriptstyle |a|^2=36$ et $\scriptstyle |b|^2=36$.

Il n'existe qu'un nombre fini de couple d'entiers relatifs (u,v) tels que $\scriptstyle u^2+5v^2$ divise 36. Une étude exhaustive conduit à exhiber 6 diviseurs communs à a et b

$\pm 1\,, \,\pm(1-i\sqrt 5)\,,\,\pm 2$

Comme 2 ne divise pas $\scriptstyle 1-i\sqrt 5$ et que $\scriptstyle 1-i\sqrt 5$ ne divise pas 2, il n'existe pas d'élément maximal pour cet ensemble

Un anneau à PGCD est un anneau où cette existence est acquise.

• De manière évidente $\scriptstyle \Z$ est un anneau à PGCD.
• L'anneau K[X] des polynômes sur un corps K est un anneau à PGCD.

Propriétés des anneaux intègres à PGCD

Dans un anneau intègre à PGCD, pour tous éléments non nuls a, b, c, de l'anneau on a l'égalité suivant

$\mathrm{pgcd}(ac,bc) \sim c\times \mathrm{pgcd}(a,b).\,$

Cette égalité est vraie à un élément inversible près.

Dans un anneau intègre quelconque, si pgcd(ac,bc) existe alors pgcd(a,b) existe et l'égalité est vraie. Mais la réciproque est fausse : ainsi dans l'anneau $\scriptstyle{\Z[i\sqrt 5]}$ les éléments $\scriptstyle a=3$ et $\scriptstyle{b=2+i\sqrt 5}$ irréductibles possèdent un PGCD de 1 mais $\scriptstyle 6$ et $\scriptstyle{4+2i\sqrt 5}$ ne possèdent pas de PGCD.

Un anneau intègre à PGCD est aussi un anneau à PPCM (et réciproquement) et on a l'égalité suivante

$\mathrm{pgcd}(a,b) \times \mathrm{ppcm}(a,b) \sim ab.\,$

Cette égalité est vraie à un élément inversible près.

Dans un anneau intègre quelconque, si ppcm(a,b) existe alors pgcd(a,b) existe et l'égalité précédente est vérifiée. Mais la réciproque peut se révéler fausse ; ainsi dans l'anneau $\scriptstyle{\Z[i\sqrt 5]}$ les éléments $\scriptstyle a=2$ et $\scriptstyle{b=1-i\sqrt 5}$ irréductibles possèdent un PGCD mais pas de PPCM. Cependant si tous les couples (a,b) possèdent un PGCD alors ils possèdent aussi un PPCM.

Un anneau intègre à PGCD vérifie le lemme de Gauss et le lemme d'Euclide c'est-à-dire

Lemme de Gauss : pour tout couple (a,b) d'éléments non nuls de A, a et b sont premiers entre eux si et seulement si, pour tout élément c de A, si a divise bc alors a divise c

Lemme d'Euclide : pour tout élément p irréductible de A et pour tout couple (a,b) d'éléments de A, si p divise ab alors p divise a ou p divise b

Ainsi, dans un anneau intègre à PGCD, un élément p est irréductible si et seulement s'il est premier.

Le lemme de Gauss permet par ailleurs de prouver^[2] qu'un anneau intègre à PGCD est intégralement clos.

Tout anneau de polynômes à coefficients dans un anneau intègre à PGCD est encore à PGCD^[3].

Relation avec les anneaux factoriels et les anneaux de Bézout

• Tout anneau factoriel et tout anneau de Bézout est un anneau à PGCD.

• Tout anneau à PGCD intègre et noethérien est factoriel. Plus précisément, un anneau intègre est factoriel si et seulement si c'est à la fois un anneau à PGCD et un anneau dans lequel toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire.

• Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont pas factoriels (prendre un anneau de Bézout non factoriel comme l'anneau des entiers algébriques).

• Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont pas de Bézout (par exemple un anneau factoriel noethérien non principal: $\mathbb Q[X,Y]$ ou $\mathbb Z[X]$).

• Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont ni factoriels ni de Bézout^[4].

Notes et références

1. ↑ Aviva Spirzglas, Mathématiques Algèbre L3, Editions Pearson, 2009, p 511
2. ↑ (en) Every gcd domain is integrally closed de PlanetMath
3. ↑ Ou plus généralement : toute algèbre d'un monoïde à PGCD sur un tel anneau : (en) Robert W. Gilmer, Commutative semigroup rings, University of Chicago Press, 1984 (ISBN 9780226293929) Theorem 14.5 p.176
4. ↑ Soit A un anneau intègre à PGCD mais non factoriel. Alors A[X] est à PGCD d'après la référence dans Robert W. Gilmer. Mais il n'est pas factoriel (sinon A serait factoriel), ni de Bézout (considérer l'idéal engendré par a et X où a est un élément de A non nul et non inversible, cet idéal qui est de type fini n'est pas principal car tout générateur diviserait à la fois a et X).

Bibliographie

Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail des éditions]