Application de Poincaré

Dans la section de Poincaré S, l'application de Poincaré P projette le point x sur P(x).

En mathématiques, particulièrement en système dynamique, une application de Poincaré, nommée en l'honneur de Henri Poincaré, est l'intersection d'une orbite périodique (en) dans l'espace d'états (en) d'un système dynamique avec un certain sous-espace de dimension moindre, appelé la section de Poincaré, transverse au flot du système. Plus précisément, on considère une orbite périodique avec conditions initiales sur la section de Poincaré et on observe le point auquel cette orbite revient à la section pour la première fois, d'où son autre nom, application de récurrence. La transversalité de la section de Poincaré fait référence au fait que l'orbite périodique commence au travers du flot du sous-espace et non pas de façon parallèle à celui-ci.

Une application de Poincaré peut être vue comme un système dynamique discret avec un espace d'état de dimension égale à celle du système dynamique continu original, moins une. Comme ce nouveau système dynamique conserve plusieurs propriétés des orbites périodiques et quasi périodiques du système original et comme le nouveau système comporte un espace d'états de dimension inférieure, il est souvent utile pour l'analyse du système original. Par contre, ceci n'est pas toujours possible en pratique puisqu'il n'existe aucune méthode générale de construction de l'application de Poincaré.

Une application de Poincaré diffère d'un graphe de récurrence (en) du fait que c'est l'espace et non le temps qui détermine lorsqu'un point est traité. Par exemple, le locus de la Lune au moment où la Terre est à l'apsides est un graphe de récurrence, tandis que le locus de la Lune au moment où elle passe au travers du plan perpendiculaire à l'orbite terrestre et passant au travers du Soleil à la périhélie est une application de Poincaré. L'application de Poincaré a été utilisée par Michel Hénon pour l'étude du mouvement des étoiles dans une galaxie : le chemin emprunté par une étoile, lorsque projeté sur un plan, a l'apparence d'un désordre inscrutable, tandis que l'application de Poincaré en montre la structure plus clairement.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Poincaré map » (voir la liste des auteurs)

Voir aussi

• Théorème de récurrence de Poincaré
• Application stroboscopique
• Attracteur de Hénon