Application non expansive

En mathématiques, une application non expansive entre espaces normés est une application L-lipschitzienne dont le module L = 1. Il s'agit donc du cas limite des applications contractantes, pour lesquelles L < 1. Contrairement à ces dernières, les applications non expansives n'ont pas nécessairement de point fixe et la suite des approximations successives ne converge pas nécessairement ; on peut toutefois donner des conditions pour qu'il en soit ainsi.

Définitions

Soient $\mathbb{E}$ un espace normé, dont la norme est notée $\|\cdot\|$, et P une partie fermée de $\mathbb{E}$. On dit qu'une application $T:P\to\mathbb{E}$ est non expansive^[1] si

$\forall\,(x,y)\in P\times P:\qquad \|Tx-Ty\|\leqslant\|x-y\|.$

Malgré la notation Tx pour la valeur prise en x de cette application, celle-ci n'est pas supposée linéaire ; on la note d'ailleurs aussi T(x).

Soient $\mathbb{E}$ un espace de Hilbert dont le produit scalaire est noté $\langle\cdot,\cdot\rangle$ et P une partie fermée de $\mathbb{E}$. On dit qu'une application $T:P\to\mathbb{E}$ est fermement non expansive si

$\forall\,(x,y)\in P\times P:\qquad \langle Tx-Ty,x-y\rangle\geqslant\|Tx-Ty\|^2.$

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, une application fermement non expansive est non expansive ; elle est aussi monotone.

Point fixe

On rappelle que $x\in P$ est un point fixe de $T:P\to\mathbb{E}$ si Tx = x.

Voici des conditions assurant la convexité de l'ensemble des points fixes d'une application non expansive^[2].

Convexité de l'ensemble des points fixes — Si

• $\mathbb{E}$ est un espace normé strictement convexe,
• C est un convexe non vide de $\mathbb{E}$,
• $T:C\to\mathbb{E}$ est une application non expansive,

alors l'ensemble des points fixes de T est un convexe (éventuellement vide) de C.

Le résultat suivant est dû à Browder (1965).

Théorème de Browder — Si

• $\mathbb{E}$ est un espace de Banach uniformément convexe,
• C est un convexe fermé borné non vide de $\mathbb{E}$,
• $T:C\to C$ est une application non expansive,

alors T a un point fixe dans C.

Approximations successives

On s'intéresse ici à la convergence des approximations successives

$T^kx=(\underbrace{T\circ\cdots\circ T}_{\mbox{k fois}})(x)$

vers un point fixe éventuel d'une application non expansive T. Le résultat suivant est dû à Opial (1967).

Théorème d'Opial — Si $\mathbb{E}$ est un espace de Hilbert, si C est un convexe fermé de $\mathbb{E}$ et si $T:C\to C$ est une application vérifiant les propriétés suivantes :

• T est non expansive,
• $\forall\,x\in\ C$, $T^{k+1}x-T^kx\to0$ lorsque $k\to\infty$,
• T a un point fixe dans C,

alors, pour tout $x\in C$, la suite {T^kx} converge faiblement vers un point fixe de T dans C.

Ce résultat ne peut pas être généralisé à tous les espaces uniformément convexes.

Annexes

Notes

1. ↑ Certains auteurs, dont Brézis (1973), appellent une application non expansive une contraction, une application contractante étant appelée une contraction stricte.
2. ↑ Voir par exemple Brézis (1973), théorème 1.2.

Article connexe

• Application contractante

Bibliographie

• H. Brézis, Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, Mathematics Studies 5, Amsterdam, North-Holland, 1973 (ISBN 978-0-7204-2705-9)
• (en) F.E. Browder (de), « Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space », dans PNAS, vol. 54, 1965, p. 1041–1044
• (en) Z. Opial (pl), « Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings », dans Bull. Amer. Math. Soc. (en), vol. 73, 1967, p. 591-597