Application quasi-conforme

En mathématiques, une application quasiconforme est une fonction de deux variables réelles, dont les dérivées partielles satisfont une certaine inégalité qui étend la notion d'application conforme.

De telles applications jouent un rôle central dans la théorie de Teichmüller et en dynamique holomorphe, notamment dans la démonstration du théorème de non-errance par Denis Sullivan. Par suite, elles furent utilisées avec profit notamment par Adrien Douady, J. H. Hubbard et M. Shishikura.

Définition analytique

La droite complexe $\mathbb C$ et le plan réel $\mathbb R^2$ sont identifiés cannoniquement par : $\mathbb C \ni z = x + iy \mapsto (x,y) \in \mathbb R^2$.

On défini deux opérateurs différentiels $\partial_z = \frac{1}{2} ( \partial_x - i \partial_y )$ et $\partial_{\bar{z}} = \frac{1}{2}( \partial_x + i \partial_y )$, où $\partial_x$ (respectivement $\partial_y$) désigne la dérivation partielle par rapport à x (respectivement y).

Définition —  Soient U et V deux ouverts de $\mathbb C$, $K \geq 1$ et $f : U \longrightarrow V$ un homémorphisme.

f est dite K-quasiconforme (K-q.c) si :

• Les dérivées partielles de f au sens des distributions $\partial_x f$ et $\partial_y f$ sont $L_{loc}^2$ (localement L²).
• $\left| \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \right| \leq k \left| \frac{\partial f}{\partial z} \right|$

où $k = \frac{K-1}{K+1}$.

On dit que f est quasiconforme, si f est K-qc pour un certain $K \geq 1$.

Si K = 1, alors f est conforme.

Interprétation géométrique

Forme de Beltrami

Théorème d'Ahlfors-Bers