Arc sinus

Arc sinus
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Représentation graphique

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le sinus vaut ce nombre, entre −π/2 et π/2.

La fonction qui associe à tout nombre réel entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus en radians est en général notée[1] Arc sin en notation française (bien que la norme ISO 31-11 recommande la notation arcsin), et sin−1, parfois asin ou asn, en notation anglo-saxonne. Il s'agit alors de la réciproque de la fonction sinus sur l'intervalle [-π/2 ; π/2].

La courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [-π/2 ; π/2] par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Sommaire

Dérivée

Comme dérivée d'une fonction réciproque, Arcsin est dérivable sur ]-1:1[ et vérifie

 \mathrm{Arcsin}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque.

Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

 \mathrm{Arcsin}(x) = \int_0^x\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt

Primitives

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties

 \int \mathrm{Arcsin}(x) \,dx = x\, \mathrm{Arcsin}(x) + \sqrt{1-x^2} + C

Relation importante

Arccos(x) (bleu) et Arcsin(x) (rouge).

La relation suivante entre l'arc cosinus et l'arc sinus se démontre en utilisant le fait que la dérivée est nulle et en calculant la valeur en un point.  \mathrm{Arccos}(x) + \mathrm{Arcsin}(x) = \frac{\pi}{2}

Forme logarithmique

On peut exprimer la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :

 \mathrm{Arcsin}(x) = -i\,\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right)

Voir aussi

Notes et références

  1. « Exponentielle & logarithme », § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Arc sinus de Wikipédia en français (auteurs)

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