- Arc tangente
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En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la mesure d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.
La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[. Elle est en général notée Arc tan en notation française[1], en remplacement de l'ancienne notation arctg, ou parfois arctan, notation recommandée par la norme ISO 31-11. La notation anglo-saxonne s'écrit atan ou tan-1, bien que cette dernière puisse être confondue avec la notation de l'inverse (1/tan).
Concrètement, si x appartient à ]-π/2 ; π/2[ et y appartient à :
La courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[ par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.
Sommaire
Dérivée
Comme dérivée d'une fonction réciproque, Arctan est dérivable et vérifie :
Démonstration détailléeOn applique à f =tan le théorème de dérivée d'une fonction réciproque (d'une fonction dérivable dont la dérivée ne s'annule pas) :
qui, puisque tan '(y) = 1 + tan 2y > 0, prouve que la dérivée de Arctan existe et vaut :
Développement en série de Taylor
Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente est :
Cette série entière converge quand et . La fonction arc tangente est cependant définie sur tout .
Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas x = 1, appelée formule de Leibniz[2]
La formule de Machin, plus sophistiquée,
fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de π et par William Shanks (en) en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.
Équation fonctionnelle
De Arctan(1⁄x) on peut déduire Arctan(x) et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :
DémonstrationsDémontrons la première équation (la seconde s'en déduit par imparité, ou se démontre de même).
- Une première méthode est de vérifier que la dérivée est nulle.
On a en effet :
et
donc
On en déduit que Arctan(1⁄x) + Arctan(x) est constante sur ] 0,+∞ [, et on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant par exemple la valeur prise en x = 1.
- Une deuxième méthode est de remarquer que pour tout x > 0, si θ désigne l'Arctan de x alors
- d'où
- Une troisième méthode est de déduire cette formule de la formule remarquable ci-dessous en faisant tendre y vers 1/x par valeurs inférieures.
Fonction réciproque
Par définition, Arctan est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tan à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[ :
Ainsi, pour tout réel x, tan(Arctan(x))=x. Mais l'équation Arctan(tan(y))=y n'est vérifiée que pour y compris entre -π/2 et π/2.
Logarithme complexe
On peut exprimer la fonction arctangente par un logarithme complexe :
Démonstration détailléeOn réécrit la dérivée de la fonction arctangente :
On intègre de chaque côté :
Enfin, on calcule la constante d’intégration C en x = 0 :
On trouve donc finalement :
Intégration
Primitive
La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 est
Cette formule se démontre grâce à une intégration par parties.
Utilisation de la fonction arctangente
La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme
Si le discriminant D = b2 − 4ac est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est négatif, on peut faire la substitution par
qui donne pour l'expression à intégrer
L'intégrale est alors
Formule remarquable
où
DémonstrationSupposons et posons . Alors,
Il suffit pour conclure de remarquer que a + b appartient à
Voir aussi
Notes et références
- « Exponentielle & logarithme », § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
- Gregory" ; cette formule avait en fait été déjà découverte par Madhava au quatorzième siècle ; voir l'article de la Wikipedia anglophone pour plus de détails Connue des anglophones sous le nom de "formule de
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