Barycentre (Géométrie Affine)

Barycentre (Géométrie Affine)

Barycentre (géométrie affine)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Barycentre.

En géométrie affine, le barycentre de plusieurs points affectés de coefficients est un point annulant une certaine égalité vectorielle. Le calcul de barycentre est l'outil fondamental de la géométrie affine, comme la combinaison linéaire est celui de la géométrie vectorielle. Il permet de caractériser les variétés affines, les applications affines et la convexité.

En géométrie euclidienne, le barycentre est plus simplement le point situé au centre de plusieurs points, auxquels sont affectés des pondérations : voir Barycentre (géométrie euclidienne).

Sommaire

Géométrie affine

Définition mathématique

Soient (Ai)i = 1...n, n points d'un espace affine sur un corps \mathbb K et soient (ai)i = 1...n, n scalaires tels que leur somme soit non nulle, le barycentre des points (Ai)i = 1...n affectés des coefficients (ai)i = 1...n est l'unique point G tel que

 \sum_{i=1}^n a_i\overrightarrow{GA_i}= \vec 0.

On trouve les notations suivantes pour le barycentre :

G = \operatorname{bar}\left\{(A_i, a_i)\right\}_{i\in\{1 \ldots n\}}
\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)G = \sum_{i=1}^n a_i A_i

L'existence et l'unicité de ce point G, pour peu que la somme des coefficients soit non nulle, se prouve aisément en utilisant la relation de Chasles.

Propriétés immédiates

Commutativité : On peut changer l'ordre des points sans changer la valeur du barycentre tant que les points conservent leur coefficient.

Homogénéité : On peut multiplier tous les coefficients par un même scalaire k non nul sans changer la valeur du barycentre. On privilégie alors souvent les coefficients dont la somme vaut 1.

Associativité et dissociativité: Soit k un entier compris entre 1 et n-1 , si \scriptstyle\sum_{i=1}^k a_i \ne 0, \scriptstyle\sum_{i=k+1}^n a_i \ne 0 et \scriptstyle\sum_{i=1}^n a_i \ne 0 , on peut parler de G1 = bar{(Ai,ai)}i = 1...k, et de G2 = bar{(Ai,ai)}i = k + 1...n, et l'on a l'égalité suivante :

\operatorname{bar}\left\{(A_i, a_i)\right\}_{i\in\{1 \ldots n\}}=\operatorname{bar}\left\{\left(G_1, \sum_{i=1}^k a_i \right),\left(G_2, \sum_{i=k+1}^n a_i\right)\right\}

Cette propriété se généralise à un regroupement de p sous-familles de coefficients.

Coordonnées barycentriques

Si l'espace affine E est associé à un espace vectoriel V de dimension n, et si (Ai)i = 0...n sont n+1 points de l'espace affine, on dit que ces n+1 points forment un repère barycentrique si et seulement si les vecteurs (\overrightarrow{A_0A_i})_{i=1...n} forment une base de V. On démontre, grâce à le relation de Chasles, que cette propriété est indépendante de l'ordre des points.

Si (Ai)i = 0...n forment un repère barycentrique de l'espace alors tout point M de cet espace peut être trouvé comme barycentre des (Ai)i = 0...n. La propriété d'homogénéité permet de dire que les coefficients (ai)i = 0...n ne sont pas uniques (les multiplier par un scalaire k non nul, ne changera pas la position de M), on privilégie alors les coefficients (ai)i = 0...n tels que leur somme vaut 1. Ils sont appelés coordonnées barycentriques de M.

Variété affine

On appelle variété affine d'un espace affine E toute partie de E stable par prise de barycentre. On démontre que cette définition coïncide avec celle de sous-espace affine.

Le sous-espace affine engendré par une famille de n points (Ai)i = 1...n, est le plus petit ensemble contenant ces n points et stable par prise de barycentres.

Par exemple, le sous-espace affine engendré par deux points non confondus est une droite affine, et le sous-espace affine engendré par trois points non alignés est un plan affine.

Segments, ensemble convexe

Si E est un espace affine sur ℝ. Si A et B sont deux points distincts de E, l'ensemble des points M = bar{(A,k),(B,1 − k)} où k est élément de [0;1], est une partie de la droite (AB) appelé segment [AB]. C'est aussi l'ensemble des points M = bar{(A,a),(B,b)} où a et b sont deux réels positifs ou nuls.

Un ensemble stable par prise de barycentre avec coefficients toujours positifs ou nuls est un ensemble convexe.

L'ensemble des barycentres à coefficients positifs ou nuls, construit à l'aide des points (Ai)i = 1...n est appelé enveloppe convexe des points (Ai)i = 1...n

Application affine

Soit f une application de E1 dans E2 , on dit que f conserve le barycentre si et seulement si pour tout point G = bar{(Ai,ai)}i = 1...n, on a f(G) = bar{(f(Ai),ai)}i = 1...n. La propriété d'associativité du barycentre permet de se limiter à vérifier la conservation pour tout barycentre de 2 points.

On démontre que l'ensemble des applications de E1 dans E2 conservant le barycentre coïncide avec celui des applications affines de E1 dans E2.

Certaines applications affines s'expriment bien à l'aide du barycentre.

Exemples :

  • Soient A et B deux points, la transformation qui, au point M associe le point M' = bar{(B,1),(A, − 1),(M,1)} est une translation, qui a pour vecteur \overrightarrow{AB}
  • Soit C un point et k un scalaire non nul. La transformation qui au point M associe le point M' = bar{(C,1 − k),(M,k)} est une homothétie, qui a pour centre C et rapport k.

Quelques usages des barycentres en mathématiques

En géométrie affine, les barycentres facilitent grandement les problèmes d'alignement et de concours (trois points sont alignés dès que l'un des points est barycentre des deux autres) et permettent des démonstrations élégantes de théorèmes comme le théorème de Ménélaüs, le théorème de Céva ou les propriétés du quadrilatère complet. Il sert aussi à simplifier les fonctions de Leibniz.

Voir aussi

Liens internes

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Barycentre (g%C3%A9om%C3%A9trie affine) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Barycentre (Géométrie Affine) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Barycentre (géométrie affine) — Pour les articles homonymes, voir Barycentre. En géométrie affine, le barycentre de plusieurs points affectés de coefficients est un point annulant une certaine égalité vectorielle. Le calcul de barycentre est l outil fondamental de la géométrie… …   Wikipédia en Français

  • Barycentre (Géométrie Euclidienne) — Pour les articles homonymes, voir Barycentre. En géométrie, le barycentre est un point qui permet de résumer un ensemble géométrique sur lequel sont réparties des valeurs numériques. Ces valeurs peuvent représenter des poids pour déterminer le… …   Wikipédia en Français

  • Barycentre (géométrie euclidienne) — Pour les articles homonymes, voir Barycentre. En géométrie, le barycentre est un point qui permet de résumer un ensemble géométrique sur lequel sont réparties des valeurs numériques. Ces valeurs peuvent représenter des poids pour déterminer le… …   Wikipédia en Français

  • Barycentre (géométrie élémentaire) — Pour les articles homonymes, voir Barycentre. En géométrie, le barycentre est un point qui permet de résumer un ensemble géométrique sur lequel sont réparties des valeurs numériques. Ces valeurs peuvent représenter des poids pour déterminer le… …   Wikipédia en Français

  • Geometrie affine — Géométrie affine La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s agit grossièrement d ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d alignement, de parallélisme, d intersection. Les notions… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie Affine — La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s agit grossièrement d ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d alignement, de parallélisme, d intersection. Les notions de longueur et d… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie affine — La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s agit grossièrement d ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d alignement, de parallélisme, d intersection. Les notions de longueur et d… …   Wikipédia en Français

  • Barycentre (mathématiques) — Barycentre (géométrie euclidienne) Pour les articles homonymes, voir Barycentre. En géométrie, le barycentre est un point qui permet de résumer un ensemble géométrique sur lequel sont réparties des valeurs numériques. Ces valeurs peuvent… …   Wikipédia en Français

  • Barycentre (mathématiques élémentaires) — Barycentre (géométrie euclidienne) Pour les articles homonymes, voir Barycentre. En géométrie, le barycentre est un point qui permet de résumer un ensemble géométrique sur lequel sont réparties des valeurs numériques. Ces valeurs peuvent… …   Wikipédia en Français

  • Barycentre (Physique) — Pour les articles homonymes, voir Barycentre. En physique et en mécanique, le barycentre (ou centre de masse) d’un solide est le centre des poids. La notion est également utilisée en astronomie En mécanique du solide, on parle spécifiquement de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”