Cœur d'un sous-groupe

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, l'intersection des conjugués, dans un groupe G, d'un sous-groupe H de G est appelée en anglais le core de H (dans G), ce qui peut se traduire en français par cœur^[1]; elle est notée core_G(H)^[2] ou encore H_G^[3].

Le cœur de H dans G est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H.

Si on désigne par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H (cet ensemble n'est pas forcément muni d'une structure de groupe, H n'étant pas supposé normal dans G), on sait que G opère à gauche sur G/H par

$G \times G/H \rightarrow G/H : (g, X) \mapsto gX.$

Le cœur de H dans G est le noyau de cette opération. Il en résulte que G / H_G est isomorphe à un sous-groupe de S_{G / H} (groupe des permutations de l'ensemble G/H). En particulier, si H est d'indice fini n dans G, H_G est lui aussi d'indice fini dans G et cet indice divise n! (factorielle de n).

Comme exemple d'usage de la notion de cœur d'un sous-groupe, on peut citer un théorème de Øystein Ore selon lequel deux sous-groupes maximaux d'un groupe fini résoluble qui ont le même cœur sont forcément conjugués^[4]. Ce théorème permet de prouver des théorèmes bien connus de Philip Hall (en) et de Roger Carter (en)^[5].

Notes et références

1. ↑ Jean Delcourt, Théorie des Groupes, 2^e éd., 2007, p. 81, écrit dans une note de bas de page : « [Ce sous-groupe] se nomme en anglais le core de H, ce qui peut se traduire par cœur ».
2. ↑ I. Martin Isaacs, Finite Group Theory, American Mathematical Society, 2008, p. 3.
3. ↑ Voir par exemple Yakov Berkovich, « Alternate proofs of some basic theorems of finite group theory », Glasnik Matematički, vol. 40(60)(2005), 207-233 en ligne, p. 207.
4. ↑ O. Ore, « Contributions to the theory of groups of finite order », Duke Mathematical Journal, vol. 5 (1938), 431-460. Référence fournie par Yakov Berkovich, « Alternate proofs of some basic theorems of finite group theory », Glasnik Matematički, vol. 40(60)(2005), 207-233 en ligne, p. 233, qui donne une démonstration (pp. 210-211).
5. ↑ Voir Yakov Berkovich, « Alternate proofs of some basic theorems of finite group theory », Glasnik Matematički, vol. 40(60)(2005), 207-233 en ligne, qui donne des démonstrations (pp. 210-212).