Convergence inconditionnelle

Soit X un espace de Banach, et $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de X. On dit que la série $\sum_{n=0}^\infty x_n$ converge inconditionnellement si, pour toute permutation $\sigma: \mathbb N \to \mathbb N$, la série $\sum_{n=0}^\infty x_{\sigma(n)}$ converge dans X. .

De manière équivalente : la série $\sum_{n=0}^\infty x_n$ converge inconditionnellement si, pour toute suite $(\varepsilon_n)_{n\in\N}$, avec $\varepsilon_n\in\{-1, +1\}$, la série $\sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n x_n$ converge.

Toute série absolument convergente est inconditionnellement convergente, mais la réciproque n'est pas vraie en général. Néanmoins, quand X est de dimension finie, ces deux notions coïncident.

Une base de Schauder $(e_n)_{n\in\N}$ de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement.

Voir aussi

Convergence 

Bibliographie

(en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, 2000 (ISBN 978-0-387-95219-2)