Courbe d'Edwards

En mathématiques, une courbe d'Edwards est une courbe elliptique découverte par le mathématicien Harold Edwards^[1]. En 2010, les propriétés des courbes elliptiques sont utilisées dans un corps fini pour créer la cryptographie sur les courbes elliptiques^[2]. Bernstein et Lange ont mentionné plusieurs avantages de cette courbe comparativement aux fonctions elliptiques de Weierstrass.

Definition

Des courbes d'Edwards d'équation x² + y² = 1 + d ·x²·y² sur les nombres réels pour d = -300 (rouge), d = -√8 (jaune) et d = 0.9 (bleu).

Une courbe d'Edwards sur un corps commutatif K de caractéristique différente de 2 est une courbe d'équation :

$x^2 + y^2 = 1 + d x^2 y^2 \,$

pour un scalaire $d \in K \setminus \{0,1\}$.

On appelle également courbe d'Edwards une courbe d'équation :

$x^2 + y^2 = c^2(1 + dx^2 y^2) \,$

où $c, d \in K$ avec $cd (1 - c^4 d) \neq 0 \,$.

Toutes les courbes d'Edwards sont birationnellement équivalentes (en) à une courbe elliptique de Weierstrass.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Edwards curve » (voir la liste des auteurs)

1. ↑ (en) Harold M. Edwards, « A normal form for elliptic curves », dans Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 44, 2007, p. 393-422 [texte intégral (page consultée le 16 décembre 2010)] 
2. ↑ (en) Christiane Peters, « EdwardsCurves », dans S³CM, 10 juillet 2008 [texte intégral (page consultée le 28 mars 2010)] 

Voir aussi

Articles connexes

• Courbe elliptique
• Fonction elliptique de Weierstrass

Liens externes

• (en) Edwards curves sur hyperelliptic.org