Courbe de Lamé

Exemples de courbes de Lamé

$(n,a,b)=\left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$

$(n,a,b)=\left(\frac{3}{2}, 1, 1\right)$

$(n,a,b)=\left(4, 1, 1\right)$

Les courbes de Lamé (ou superellipses) sont un groupe de courbes coniques définies pour la première fois par le mathématicien français Gabriel Lamé en 1818^[1]. Elles sont définies par leur équation cartésienne:

$\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1$

Propriétés

Les courbes de Lamé peuvent aussi être définies par l'équation paramétrique^[2]:

$\left. \begin{align} x\left(\theta\right) &= \plusmn a\cos^{\frac{2}{n}} \theta \\ y\left(\theta\right) &= \plusmn b\sin^{\frac{2}{n}} \theta \end{align} \right\} \qquad 0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$

L'aire $\mathcal{A}$ de la surface délimitée par une courbe de Lamé est donnée^[3] par:

$\mathcal{A} = \frac{4^{\left(1-\frac{1}{n}\right)}ab\sqrt{\pi}\Gamma(1+\frac{1}{n})}{\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{1}{n})}$, où Γ est la fonction Gamma.

Références

1. ↑ (en) Lamé Curves
2. ↑ (fr) Courbe de Lamé
3. ↑ (en) Superellipse