Courbe du blancmanger

En mathématiques, la courbe du blancmanger est une courbe fractale. Elle est aussi connue comme la courbe de Takagi, d'après Teiji Takagi qui l'a décrite en 1903, ou comme la courbe Takagi–Landsberg, une généralisation de la courbe. Le nom blancmanger vient de sa ressemblance au pudding du même nom. C'est un cas particulier de courbe de De Rham (en). .

La fonction blancmanger est définie sur [0; 1] par :

${\rm blanc}(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n},$

où s(x) est définie par $s(x)=\min_{n\in{\bold Z}}|x-n|$, c'est-à-dire que s(x) est la distance entre x et l'entier le plus proche. La somme infinie blanc(x) converge pour tout x, mais la courbe résultante est une fractale. La fonction blancmanger est continue (en fait, uniformément continue) mais non dérivable.

La courbe Takagi–Landsberg en est une généralisation donnée par la relation :

$T_w(x) = \sum_{n=0}^\infty w^n s(2^{n}x)$

pour un paramètre w; donc la courbe du blancmanger est le cas w = 1 / 2. La valeur H = − log ₂w est connue comme le paramètre de Hurst. La fonction peut-être étendue à tous les réels : appliquer la définition ci-dessus montre que la fonction se répète sur chaque intervalle unitaire.

Construction graphique

La courbe du blancmanger peut être construite à partir des fonctions en dents de scie si la somme infinie est approximée par les premiers termes. Sur les illustrations ci-dessous, les fonctions en dents de scie (en rouge) sont progressivement ajoutées à la courbe à chaque étape.

n = 0	n ≤ 1	n ≤ 2	n ≤ 3

Intégration de la courbe

Étant donné que l'intégrale de la fonction blanc sur l'intervalle [0; 1] vaut 1/2, la relation blanc(x) = blanc(2x) / 2 + s(x) permet de calculer l'intégrale. Le calcul est récursif avec un temps de calcul de l'ordre du logarithme de la précision requise.

$\begin{align} I(x) &= \int_0^x{\rm blanc}(x)\,\mathrm{d}x,\\ I(x) &=\begin{cases} 1/2+I(x-1) & \text{si }x \geq 1\\ 1/2-I(1-x) & \text{si }1/2 < x < 1 \\ I(2x)/4+x^2/2 & \text{si } 0 \leq x \leq 1/2 \\ -I(-x) & \text{si } x < 0 \end{cases} \\ \int_a^b{\rm blanc}(x)\,\mathrm{d}x &= I(b) - I(a). \end{align}$

Dimension fractale

La courbe de Takagi-Landsberg ($\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {w^n s(2^{n}x)}}$) a pour dimension de Hausdorff^[1] :

$D_H = 2+\dfrac{\log(w)}{\log(2)}$.

La dimension de Hausdorff de la courbe du blancmanger, pour laquelle w = 1 / 2, vaut donc 1, malgré son aspect fractal.

Références

1. ↑ (en) Benoit Mandelbrot, Gaussian self-affinity and Fractals (Hunt cité par Mandelbrot) (ISBN 0-387-98993-5) 

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Blancmange curve » (voir la liste des auteurs)

Lien externe

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