Cône asymptotique

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le cône asymptotique d'un convexe fermé non vide d'un espace vectoriel est l'aspect qu'il prend lorsqu'on le voit d'infiniment loin (la définition précise est donnée ci-dessous) ; il ressemble alors à un cône. Cette description intuitive permet de «comprendre» pourquoi le cône asymptotique est réduit à un point si, et seulement si, le convexe auquel il est associé est borné. Le cône asymptotique porte aussi le nom de cône de récession. Un élément du cône asymptotique est appelé une direction asymptotique (ou une direction de récession) de l'ensemble convexe de départ. Lorsqu'on suit une direction asymptotique, en partant d'un point d'un convexe fermé non vide, on reste dans cet ensemble.

Voici quelques cas où ce concept peut être utile.

• Comme signalé ci-dessus, on peut montrer qu'un ensemble convexe fermé est borné si, et seulement si, son cône asymptotique est réduit à zéro (voir ci-dessous), ce qui revient à dire qu'il ne contient pas de demi-droite. Cette propriété de bornitude pourra donc être obtenue par l'intermédiaire du calcul et de l'examen de son cône asymptotique, souvent possible si l'ensemble convexe a lui-même une expression analytique.
• Appliqué aux ensembles de sous-niveaux d'une fonction convexe, cette méthode peut parfois donner des conditions pour que l'ensemble des minimiseurs de cette fonction soit non vide et borné.
• Ce concept peut être transporté à une fonction convexe, en prenant le cône asymptotique de son épigraphe. Cela conduit à la notion de fonction asymptotique d'une fonction convexe, qui décrit son comportement à l'infini.

Des notions semblables peuvent aussi se définir pour des ensembles non convexes^[1].

Connaissances supposées : les bases de l'analyse (notamment la notion de limite) et la notion d'ensemble convexe.

Notations et définitions

On suppose dans cet article que $\mathbb{E}$ est un espace vectoriel réel (les scalaires sont les éléments de $\R$) de dimension finie. On note l'ensemble des réels positifs comme suit

$\R_+:=\{t\in\R: t\geqslant0\}.$

Si $\Lambda\subset\R$, $x\in\mathbb{E}$ et $P\subset\mathbb{E}$, on définit

$\begin{array}{rcl} \Lambda\,x&:=&\{\lambda\,x:\lambda\in\Lambda\}\\ \Lambda\,P&:=&\{\lambda\,x:\lambda\in\Lambda,~x\in P\}. \end{array}$

Cône et direction asymptotiques — On appelle cône asymptotique (ou cône de récession) d'un convexe non vide C, l'ensemble noté et défini par

$C^\infty:=\{d\in\mathbb{E}:C+\mathbb{R}_+\,d\subset C\}=\{d\in\mathbb{E}:C+d\subset C\}.$

Un élément de cet ensemble est appelé direction asymptotique (ou direction de récession) ; il s'agit donc d'une direction $d\in\mathbb{E}$ telle que, quels que soient $x\in C$ et $t\geqslant0$ (ou t = 1), on a $x+td\in C$.

Propriétés

Le cône asymptotique du convexe non vide C est clairement l'intersection pour les $x\in C$ des cônes

$C^\infty(x):=\{d\in\mathbb{E}:x+\R_+d\subset C\}=\bigcap_{t>0}\frac{C-x}{t}.$

Si C n'est pas fermé, l'ensemble $C^\infty(x)$ peut dépendre de $x\in C$. Par exemple, si

$C=\{x\in\R^2: x>0\}\cup\{(0,0)\},$

$C^\infty(x)$ est l'orthant positif $\R^2_+$ si $x\ne0$, alors que $C^\infty(0)=C$. À l'inverse, si C est fermé, tous les $C^\infty(x)$ se confondent avec $C^\infty$ ; c'est pour cette raison que certains auteurs préfèrent définir le cône asymptotique d'un convexe fermé^[2] et que l'hypothèse de fermeture de C est en général faite ci-dessous.

Autres expressions du cône asymptotique — Soit C un ensemble convexe fermé non vide. Alors $C^\infty$ est un cône convexe fermé contenant zéro. De plus

1. $C^\infty=\{d\in \mathbb{E}$ : il existe des suites $\{x_k\}\subset C$ et $\{t_k\}\to\infty$ telles que $x_k/t_k\to d\}$,
2. $C^\infty=C^\infty(x)$, quel que soit $x\in C$.

Le corollaire suivant exprime à sa manière qu'un ensemble convexe fermé est borné si, et seulement si, il ne contient pas de demi-droite, c'est-à-dire d'ensemble de la forme $\{x+td:t\geqslant0\}$, où x et $d\in \mathbb{E}$.

Cône asymptotique d'un convexe borné — Soit C un ensemble convexe fermé non vide. Alors C est borné si, et seulement si, $C^\infty=\{0\}$.

Aspects calculatoires

Voici quelques règles de calcul.

Cône — K est une cône convexe fermé   $\Longleftrightarrow\quad$   $K^\infty=K$.

Inclusion — Si C₁ et C₂ sont deux convexes fermés non vides tels que $C_1\subset C_2$, alors $C_1^\infty\subset C_2^\infty$.

On rappelle qu'une intersection quelconque de convexes fermés est un convexe fermé.

Intersection — Si $\{C_i\}_{i\in I}$ est une famille quelconque d'ensembles convexes fermés non vides, d'intersection non vide, on a $(\cap_{i\in I}C_i)^\infty=\cap_{i\in I}C_i^\infty$.

On rappelle que l'image réciproque d'un convexe [resp. d'un fermé, d'un convexe fermé] par une application linéaire est un convexe [resp. un fermé, un convexe fermé].

Image réciproque par une application linéaire — Soient $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ deux espaces vectoriels de dimension finie, $A:\mathbb{E}\to \mathbb{F}$ une application linéaire et C un convexe fermé non vide de $\mathbb{F}$ tel que $\mathcal{R}(A)\cap C\ne\varnothing$. Alors $[A^{-1}(C)]^\infty=A^{-1}(C^\infty)$.

On rappelle que l'image d'un convexe par une application linéaire est convexe, mais que celle d'un convexe fermé n'est pas nécessairement fermée (même si le convexe est un cône). La situation est donc, d'emblée, plus compliquée que celle de l'image réciproque et va donc faire apparaître des adhérences. Par ailleurs il n'est pas vrai, en général, que l'image du cône asymptotique par une application linéaire soit le cône asymptotique de l'image. La condition donnée ci-dessous pour avoir cette égalité n'est qu'un exemple de telles conditions; elle n'est nullement nécessaire.

Image par une application linéaire — Soient $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ deux espaces vectoriels de dimension finie, $A:\mathbb{E}\to \mathbb{F}$ une application linéaire et C un convexe fermé non vide de $\mathbb{E}$. Alors

• $\operatorname{adh}(A(C^\infty))\subset(\operatorname{adh} A(C))^\infty$,
• si $N(A)\cap C^\infty$ est un sous-espace vectoriel, alors A(C) est fermé et $A(C^\infty)=A(C)^\infty$.

Si $N(A)\cap C^\infty$ n'est pas un sous-espace vectoriel, on peut avoir $A(C^\infty)\ne A(C)^\infty$, comme dans le cas où $A:(x_1,x_2)\in\R^2\mapsto x_1\in\R$ et $C:=\{x\in\R^2:x_2\geqslant x_1^2\}$ ; on a $C^\infty=\{d\in\R^2:d_1=0,~d_2\geqslant0\}$ et $A(C)=\R$, si bien que $A(C^\infty)=\{0\}\ne\R=[A(C)]^\infty$.

Exemples

Pavé de Rn

Soient $l\in(\R\cup\{-\infty\})^n$ et $u\in(\R\cup\{+\infty\})^n$ deux vecteurs vérifiant $l\leqslant u$. On considère le pavé

$[l,u]:=\{x\in\R^n:l\leqslant x\leqslant u\},$

où les inégalités vectorielles doivent s'entendre composante par composante. C'est un convexe fermé non vide de $\R^n$. Son cône asymptotique est donné par

$d\in[l,u]^\infty\qquad\Longleftrightarrow\qquad\forall\,i=1,\ldots,n,\quad\left\{\begin{array}{ll}d_i\geqslant 0 &\mbox{si}~l_i>-\infty\\d_i\leqslant 0 &\mbox{si}~u_i<+\infty.\end{array}\right.$

Clairement, [l,u] est borné si, et seulement si, toutes les composantes de l et u sont finies, ce qui se produit par la formule précédente si, et seulement si, $[l,u]^\infty$ est réduit à zéro.

Polyèdre convexe

La représentation primale d'un polyèdre convexe P consiste à l'écrire comme la somme (ensembliste) (en) d'un polytope (enveloppe convexe d'un nombre fini de points $x_1,\ldots,x_p$) et d'un cône polyédrique (enveloppe conique d'un nombre fini de points $y_1,\ldots,y_q$) :

$P:=\operatorname{co}\{x_1,\ldots,x_p\}+\operatorname{cone}\{y_1,\ldots,y_q\}.$

Dans ce cas, le cône asymptotique de P s'écrit sans surprise comme suit

$P^\infty=\operatorname{cone}\{y_1,\ldots,y_q\}.$

Un polyèdre convexe peut aussi s'écrire de manière duale comme l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces :

$P:=\{x\in\mathbb{E}:l\leqslant Ax\leqslant u\}=A^{-1}([l,u]),$

où $A:\mathbb{E}\to\R^m$ est linéaire, tandis que $l\in(\R\cup\{-\infty\})^m$ et $u\in(\R\cup\{+\infty\})^m$ sont deux vecteurs vérifiant $l\leqslant u$. Comme P est l'image réciproque du convexe fermé non vide [l,u] par une application linéaire, son cône asymptotique se calcule facilement :

$P^\infty=\{d\in\mathbb{E}:Ad\in[l,u]^\infty\}=A^{-1}([l,u]^\infty).$

Annexes

Notes

1. ↑ Voir Auslender et Teboulle (2003).
2. ↑ C'est le cas d'Hiriart-Urruty et Lemaréchal (1993), mais pas celui de Rockafellar (1970) qui définit le cône asymptotique comme l'intersection des $C^\infty(x)$ pour $x\in C$.

Article connexe

• Fonction asymptotique

Bibliographie

• (en) A. Auslender, M. Teboulle (2003). Asymptotic Cones and Functions in Optimization and Variational Inequalitites. Springer Monographs in Mathematics. Springer, New York.
• (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
• (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993). Convex Analysis and Minimization Algorithms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 305-306. Springer-Verlag.
• (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (2001). Fundamentals of convex analysis. Springer-Verlag, Berlin.
• (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.