Différentielle totale

En analyse, la différentielle totale d'une fonction en un point est une forme linéaire qui s'annule sur le sous-espace tangent, en ce point, à la courbe de niveau de la fonction passant par ce point.

Dans un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, la différentielle totale correspond au produit scalaire par le vecteur gradient de cette fonction en ce point.

En calcul tensoriel, la différentielle totale et le vecteur gradient sont deux appellations équivalentes du même objet, si ce n'est que la différentielle totale évoque une représentation covariante alors que le vecteur gradient évoque plutôt une représentation contravariante.

Soient f, une fonction de $\vec x = ( x_1, ..., x_n )$ et $\mathrm{d} \vec x = ( \mathrm{d} x_1, ..., \mathrm{d} x_n )$ où les dx_i sont les composantes d'une variation infinitésimale de $\vec x$, alors la « différentielle totale » de f au point $\vec x$ définit les variations infinitésimales de f correspondant aux variations infinitésimales de $\vec x$, et s'écrit :

$\mathrm{d}f(\vec x)=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}\,\mathrm{d}x_i$

ou, en notation tensorielle avec la Convention de sommation d'Einstein

$\mathrm{d}f(\vec x)=\frac{\partial f}{\partial x_i}\,\mathrm{d}x^i$

Pour bien comprendre cette formule, il faut comprendre que l'accroissement infinitésimal $\partial f$ est lié aux accroissement infinitésimaux $\partial x_i$ par les dérivées partielle qui sont indépendantes les unes des autres, et que par contre, on calcule la relation entre $\mathrm{d}f(\vec x)$ et les dx_i qui sont eux liés entre eux par la direction dans laquelle on fait varier $\vec x$.

Voir aussi

• Dérivée directionnelle
• Dérivée partielle
• Gradient