Sous-espace stable

En algèbre linéaire, un endomorphisme laisse stable un sous espace vectoriel F quand les éléments de F ont pour image un élément de F.

La recherche de sous-espaces stables est étroitement liée à la théorie de la réduction des endomorphismes.

Définitions

Soient E espace vectoriel et u endomorphisme de E.

Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par u quand $u(F)\subset F$, c'est-à-dire : $\forall x\in F,\ u(x) \in F$. Dans ce cas u induit sur F un endomorphisme

$u_F : \left\{\begin{matrix} F & \longrightarrow & F \\ x & \longmapsto & u(x)\end{matrix}\right.$

L'endomorphisme induit est la double restriction de l'endomorphisme initial avec à la fois un nouvel ensemble de départ et un nouvel ensemble d'arrivée. La condition de stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour que cette double restriction soit une application.

Représentation matricielle

Si E est de dimension finie et muni d'une base adaptée à F (c'est-à-dire une base de F complétée en une base de E), la matrice représentative de u peut être notée par blocs

$\begin{pmatrix} A&B\\C&D\end{pmatrix}$

Alors F est un espace stable par u si et seulement si C = 0, et dans ce cas la matrice de l'endomorphisme induit sur F est A.

Exemples

• Soient E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E. Les deux sous-espaces triviaux {0} et E sont stables par u.
• Un endomorphisme d'un espace vectoriel non nul pour lequel les seuls sous-espaces stables sont les deux sous-espaces triviaux est qualifié d'endomorphisme irréductible. Tout endomorphisme d'une droite vectorielle est irréductible. Toute rotation d'un plan euclidien dont l'angle n'est pas un multiple de π est irréductible. En dimension finie, un endomorphisme est irréductible si et seulement s'il est cyclique et si son polynôme minimal est irréductible.
• Soient E un espace vectoriel, u un endomorphisme de E et $(A_i)_{i\in I}$ une famille de sous-espaces stables par u. Alors $\cap_{i\in I}A_i$ et $\sum{}_{i\in I}A_i$ sont stables par u
• Une droite est stable par un endomorphisme u si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de u. En conséquence, tout sous-espace engendré par des vecteurs propres de u est stable par u. Si u est diagonalisable, on obtient ainsi tous les sous-espaces stables par u.
• Un sous-espace stable ne possède pas toujours de supplémentaire stable. Par exemple le noyau d'un endomorphisme nilpotent non nul est un sous-espace stable dont aucun supplémentaire n'est stable.

Extension de la notion

Pour E un espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et X un ensemble d'endomorphismes de E, on dit que F est stable par X si F est stable par tout élément de X.

Stabilité et trigonalisation

On suppose encore E de dimension finie n. Un endomorphisme est dit trigonalisable quand il possède une matrice représentative triangulaire supérieure.

Cela revient à chercher des espaces $E_1\subset E_2\subset \dots \subset E_n=E$, de dimensions respectives 1,2,..., n, tous stables par u. On parle alors de drapeau stable par u.

Sous-espaces caractéristiques

Soient E un K-espace vectoriel, u un endomorphisme de E et P un polynôme à coefficients dans K. Les sous-espaces KerP(u) et ImP(u) sont stables par u. Pour que cette construction soit intéressante, il est nécessaire que l'endomorphisme P(u) soit à la fois non nul et non inversible. C'est ce qui arrive en dimension finie lorsque le polynôme P est un diviseur strict du polynôme minimal de u.

Soit λ une valeur propre de u, c'est-à-dire, en dimension finie, une racine du polynôme π_u. Notons γ la multiplicité de λ dans le polynôme π_u. On peut définir deux espaces stables intéressant :

$Ker\ (u-\lambda Id)$ s'appelle espace propre associé à la valeur propre λ

$Ker\ (u-\lambda Id)^\gamma$ s'appelle sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ, il contient l'espace propre ci-dessus. Il lui est égal si et seulement si la multiplicité de cette valeur propre dans le polynôme minimal π_u vaut 1.

Lorsque le polynôme π_u est scindé, le lemme des noyaux permet d'affirmer que les sous-espaces caractéristiques sont supplémentaires. Dans ce cas u est diagonalisable si et seulement si chaque espace caractéristique est égal à l'espace propre correspondant.

Sous-espaces cycliques

Article détaillé : Décomposition de Frobenius.

Soient E un K-espace vectoriel, u un endomorphisme de E et x un vecteur de E. L'ensemble $\{P(u)\ (x)\mid P\in K[X]\}$ est stable par u. On l'appelle sous-espace cyclique engendré par x.

On dit que E est un endomorphisme cyclique s'il existe un vecteur x de E tel que le sous-espace cyclique engendré par x est égal à E.

Si E est de dimension n et u est un endomorphisme cyclique de E, alors $(x,u(x)\dots,u^{n-1}(x))$ est une base de E et la matrice de u dans cette base est une matrice compagnon.

En dimension finie, un endomorphisme diagonalisable est cyclique si et seulement si ses valeurs propres sont simples (sont des racines simples du polynôme caractéristique.) Plus généralement, un endomorphisme est cyclique si et seulement si son polynôme minimal et son polynôme caractéristique sont égaux (au signe près).

Sous-espaces stables et dualité

Soient E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E. Si F est stable par u, l'orthogonal de F est stable par ^tu.

Soient E un espace préhilbertien et u un endomorphisme de E. On suppose que u admet un adjoint u*. Alors un sous-espace fermé est stable par u si et seulement si son orthogonal est stable par u*. (En dimension finie, tout endomorphisme admet un adjoint et tout sous-espace est fermé.)

En particulier, dans un cadre euclidien ou hermitien, un hyperplan H est stable par l'endomorphisme u si et seulement si un vecteur normal à H est propre pour l'adjoint u^*.

Commutation et stabilité

Si deux endomorphismes u et v commutent, tout sous-espace propre pour l'un est stable par l'autre.

Plus généralement, dès que deux endomorphismes commutent, le noyau et l'image de tout polynôme en l'un sont stables par l'autre.

Voir aussi

• Décomposition de Dunford