Démonstration de Fürstenberg de l'infinité des nombres premiers

En théorie des nombres, la démonstration de Hillel Fürstenberg de l'infinité des nombres premiers est une célèbre démonstration topologique selon laquelle les entiers relatifs contiennent une infinité de nombres premiers. Comme la démonstration classique d'Euclide, celle de Fürstenberg est une démonstration par l'absurde. La démonstration a été publiée en 1955 dans l'American Mathematical Monthly alors que Fürstenberg n'était encore qu'un étudiant undergraduate de la Yeshiva University.

Démonstration de Fürstenberg

On définit une topologie sur les entiers relatifs $\mathbb{Z}$, appelée la topologie des entiers uniformément espacés, en posant qu'un sous-ensemble U ⊆  $\mathbb{Z}$ est un ouvert si et seulement s'il est :

• soit l'ensemble vide, ∅,
• soit il est une union de suites arithmétiques S(a, b) (pour a ≠ 0), où

$S(a, b) = \{ a n + b\, |\, n \in \mathbb{Z} \} = a \mathbb{Z} + b. \,$

En d'autres termes, U est ouvert si et seulement si tout x ∈ U est associé à un entier non-nul a tel que S(a, x) ⊆ U. Les axiomes de la topologie sont aisément vérifiés:

• Par définition, ∅ est ouvert; l'ensemble $\mathbb{Z}$ n'est autre que la suite S(1, 0), et ainsi est ouvert également.
• Toute union d'ensembles ouverts est ouverte: pour une collection d'ensembles ouverts U_i et x dans leur union U, chacun des nombres a_i pour lesquels S(a_i, x) ⊆ U_i montre que S(a_i, x) ⊆ U.
• L'intersection de deux (et donc d'un ensemble fini) ensembles ouverts est ouverte: soient U₁ et U₂ des ensembles ouverts et soit x ∈ U₁ ∩ U₂ (avec des nombres associés a₁ et a₂). Soit a le plus petit commun multiple de a₁ et a₂. Alors S(a, x) ⊆ S(a_i, x) ⊆ U_i.

La topologie est très différente de la topologie usuelle euclidienne et a deux propriétés notables:

1. Puisque tout ensemble ouvert non-vide contient une infinité de suites, aucun ensemble fini ne peut être ouvert; autrement dit, le complémentaire d'un ensemble fini ne peut être un ensemble fermé.
2. Les ensembles de base S(a, b) sont à la fois ouverts et fermés: ils sont ouverts par définition, et on peut écrire S(a, b) comme le complémentaire d'un ensemble ouvert de la manière suivante:

$S(a, b) = \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{j = 1}^{a - 1} S(a, b + j).$

Les seuls entiers qui ne sont pas des entiers multiples d'un nombre premier sont −1 et +1, i.e.

$\mathbb{Z} \setminus \{ -1, + 1 \} = \bigcup_{p \mathrm{\, premier}} S(p, 0).$

D'après la première propriété, l'ensemble défini dans le membre de gauche ne peut être fermé. D'autre part, d'après la seconde propriété, les ensembles S(p, 0) sont fermés. Donc, s'il n'y avait qu'un nombre fini de nombres premiers, l'ensemble du membre de droite serait une union finie d'ensembles fermés, et donc serait fermé. On arrive à une contradiction, donc il doit exister une infinité de nombres premiers.

Notes

• (en) Harry Fürstenberg, « On the infinitude of primes », dans American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, vol. 5, 1955, p. 353 [texte intégral, lien DOI] 

• (en) Idris D. Mercer, « On Furstenberg's Proof of the Infinitude of Primes », dans American Mathematical Monthly, vol. 116, 2009, p. 355–356 [texte intégral, lien DOI] 

Liens externes

• Fürstenberg's proof that there are infinitely many prime numbers