Dérivation vectorielle

Dans l'espace euclidien, c'est-à-dire dans un repère quelconque Oxyz muni de vecteurs unitaires $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \;$, une fonction vectorielle est représentée $\vec{V} \;$. Ses trois coordonnées (ou composantes scalaires) $X, Y et Z \;$ sont fonction de la variable réelle $t \;$. On dit que $\vec{V} \;$ est une fonction réelle de $t \;$. Dans ce qui suit, on conviendra que la fonction vectorielle est représentée par la symbolique : $\vec{V{(t)}} \;$

Limite d'une fonction vectorielle

Limite nulle : $\vec{V{(t)}} \;$ tend vers $\vec{0} \;$ quand $t \;$ tend vers $t_0 \;$ si les coordonnées $X, Y et Z \;$ de $\vec{V} \;$ tendent vers 0 quand $t \;$ tend vers $t_0 \;$

Dans ces conditions :

$\vec{V} \rightarrow \vec{0}$

implique que :

$X \rightarrow 0, Y \rightarrow 0 , Z \rightarrow 0$

Limite quelconque : Soit une fonction vectorielle $\vec{V_t} = \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}$ et un vecteur $\vec{V_0} = \begin{pmatrix} X_0 \\ Y_0 \\ Z_0 \end{pmatrix}$

$\vec{V{(t)}} \;$ tend vers $\vec{V_0} \;$ quand $t \;$ tend vers $t_0 \;$ à condition que la différence $\vec{V{(t)}} - \vec{V_0} \rightarrow \vec{0} \;$

Dans ces conditions :

$\vec{V{(t)}} \rightarrow \vec{V_0} \;$

donc :

$X - X_0 \rightarrow 0, Y - Y_0 \rightarrow 0 , Z - Z_0 \rightarrow 0$

implique que :

$X \rightarrow X_0, Y \rightarrow Y_0 , Z \rightarrow Z_0$

Propriétés des limites : La limite d'une fonction vectorielle est unique et ne dépend pas du choix du repère : Si, lorsque :$t \rightarrow t_0$, les fonctions vectorielles $\vec{U_t}$ et $\vec{V_t}$ tendent vers $\vec{U_0}$ et $\vec{V_0}$ :

$\vec{U_t} + \vec{V_t}$ tend vers $\vec{U_0} + \vec{V_0}$,

et

$\alpha(t) \vec{U_t}$ tend vers $\alpha_0 \vec{U_0}$

avec

$\alpha_0 = \lim_{t \to t_0}\alpha(t)$.

Accroissement d'une fonction vectorielle

Soit $\Delta t = t - t_0 \;$ l'accroissement de la variable t. On désigne par accroissement de la fonction vectorielle $\vec{V{(t)}} \;$ la différence :

$\vec{V{(t)}} - \vec{V{(t_0)}} \;$

que l'on note

$\Delta\vec{V{(t)}}$

ses coordonnées sont :

$\Delta X = X(t) - X(t_0)\;$,

$\Delta Y = Y(t) - X(t_0)\;$,

$\Delta Z = Z(t) - X(t_0)\;$.

Donc :

$\Delta\vec{V{(t)}} = \Delta X_\vec{i} + \Delta Y_\vec{j} + \Delta Z_\vec{k}$

Continuité

Lorsque $\Delta\vec{V} = \vec{V{(t)}} - \vec{V{(t_0)}}$ tend vers zéro quand $\Delta\ t$ tend vers zéro.

alors $\vec{V{(t)}} \;$ est continue pour $t = t_0 \;$

Conclusion :

$\vec{V{(t)}}$ continue pour $t = t_0 \Leftrightarrow \Delta\vec{V} \rightarrow \vec{0}$ quand $\Delta\ t \rightarrow 0$

Dérivée vectorielle

La fonction vectorielle $\vec{V{(t)}} \;$ admet une dérivée en $t = t_0 \;$ lorsque le rapport $\frac{\Delta\vec{V}}{\Delta\ t}\,$ tend vers un vecteur limite lorsque $\Delta\ t \;$ tend vers zéro.

Ce vecteur limite, noté, $\vec{V'{(t_0)}} \;$ est le vecteur dérivé.

Lorsque $\vec{V{(t)}} \;$ est dérivable sur un intevalle, on désigne par $\vec{V'{(t)}} \;$ ou $\vec{V'} \;$ la fonction vectorielle ainsi obtenue.

Ses composantes sont $X'(t), Y'(t), Z'(t) \;$ ou encore $X', Y', Z' \;$.

Coordonnées de $\vec{V'{(t)}} \;$ :

Les coordonnées de $\frac{\Delta\vec{V}}{\Delta\ t} \;$ sont $\frac{\Delta\ X}{\Delta\ t}, \frac{\Delta\ Y}{\Delta\ t}, \frac{\Delta\ Z}{\Delta\ t} \;$.

Comme $\frac{\Delta\vec{V}}{\Delta\ t} \rightarrow \vec{V'{(t)}} \Leftrightarrow \frac{\Delta\ X}{\Delta\ t} \rightarrow X' , \frac{\Delta\ Y}{\Delta\ t} \rightarrow Y' , \frac{\Delta\ Z}{\Delta\ t} \rightarrow Z'\;$.

Théorème

Un vecteur $\vec{V{(X,Y,Z)}} \;$, fonction de $t \;$, admet un vecteur dérivé $\vec{V'{(X',Y',Z')}} \;$ si et seulement si les coordonnées $X,Y,Z \;$ admettent pour dérivées les coordonnées $X',Y',Z' \;$

Si $\vec{V'} \;$ existe alors $\vec{V} = X\vec{i} + Y\vec{j} + Z\vec{k} \Leftrightarrow \vec{V'} = X'\vec{i} + Y'\vec{j} + Z'\vec{k} \;$

Interprétation géométrique

Fig.1. Représentation géométrique du vecteur dérivé V'.

Soit un repère quelconque Oxyz et considérons M, un point courant d'une courbe C d'équation paramétrique fonction de t.

Supposons :

$\vec{V} = \vec{OM} \;$ dérivable pour $t = t_0 \;$

et sa dérivée en $t_0 \;$

$\vec{V'}\not=\vec{0} \;$

Considérons les vecteurs

$\vec{OM_0}=\vec{V_0} \;$,

et

$\vec{OM}=\vec{V} \;$,

on a :

$\Delta\vec{V} = \vec{V} - \vec{V_0} = \vec{OM} - \vec{OM_0}\;$

Le vecteur

$\frac{\Delta\vec{V}}{\Delta\ t} = \frac{\Delta\vec{M_0M}}{\Delta\ t} \;$ est porté par la droite $M_0M \;$ (sécante à la courbe C lieu de M).

Lorsque $\Delta\ t \rightarrow 0, \vec{MM_0} \rightarrow \vec{0} \;$ autrement dit le points $M \;$ tend à se confondre avec et $M_0 \;$ et la droite $MM_0 \;$ a pour limite le support de $\vec{V'} \;$.

On dit que la courbe C admet une tangente au point $M_0 \;$, et le vecteur dérivé $\vec{V'} \;$ est porté par cette tangente.

Principales formules de dérivation

Soit deux vecteurs :

$\vec{V_1} = \begin{pmatrix} X_1 \\ Y_1 \\ Z_1 \end{pmatrix}$ et $\vec{V_2} = \begin{pmatrix} X_2 \\ Y_2 \\ Z_2 \end{pmatrix}$

admettant les dérivées par rapport à la variable t:

$\vec{V'_1} = \begin{pmatrix} X'_1 \\ Y'_1 \\ Z'_1 \end{pmatrix}$ et $\vec{V'_2} = \begin{pmatrix} X'_2 \\ Y'_2 \\ Z'_2 \end{pmatrix}$

Dérivée de la somme vectorielle

Le vecteur :

$\vec{V_1} + \vec{V_2}$

a pour coordonnées :

$\begin{pmatrix} X_1 + X_2 \\ Y_1+Y_2 \\ Z_1+Z_2 \end{pmatrix}$

qui admettent pour dérivée :

$\begin{pmatrix} X'_1 + X'_2 \\ Y'_1+Y'_2 \\ Z'_1+Z'_2 \end{pmatrix}$ qui sont les coordonnées du vecteur $\vec{V'_1} + \vec{V'_2}$.

Donc $(\vec{V_1} + \vec{V_2})' = \vec{V'_1} + \vec{V'_2}$

Dérivée du produit d'un vecteur par un scalaire

Soit

$\vec{V_1(t)} \;$

et

$\alpha(t) \;$

tous deux supposés dérivables. Le vecteur :

$\alpha \vec{V_1} \;$

a pour coordonnées :

$\begin{pmatrix} \alpha X_1 \\ \alpha Y_1 \\ \alpha Z_1 \end{pmatrix}$

qui admettent pour dérivées

$\begin{pmatrix} \alpha' X_1 + \alpha X'_1 \\ \alpha' Y_1 + \alpha Y'_1 \\ \alpha' Z_1 + \alpha Z'_1 \end{pmatrix}$ qui sont les coordonnées du vecteur $\alpha' \vec{V_1} + \alpha \vec{V'_1}$.

Donc $(\alpha \vec{V_1})' = \alpha' \vec{V_1} + \alpha \vec{V'_1}$

Dérivée d'une fonction vectorielle de fonction numérique

Soit :

$\vec{V(f)} \;$, une fonction vectorielle dérivable,

et

$f(t) \;$ une fonction numérique dérivable.

Alors $(\vec{V(f(t))})' = \vec{V'(f)}.f'(t) \;$

Dérivée du produit scalaire

Soit deux vecteurs dérivable :

$\vec{U}$ et $\vec{V}$

Soit le scalaire :

$\vec{U}.\vec{V}$,

Alors $(\vec{U}.\vec{V})' = \vec{U'}.\vec{V} + \vec{U}.\vec{V'}\;$

Dérivée d'un carré scalaire :

$(\vec{V}^2)' = 2\vec{V}.\vec{V'}$,

En dérivant les deux membres de l'égalité suivante :

$\|\vec{V}^2\| = \vec{V}^2$,

On obtient :

$2\|\vec{V}\|.\|\vec{V'}\| = 2\vec{V}.\vec{V'}$

D'où l'on tire :

$\|\vec{V'}\| = \frac{\vec{V}}{\|\vec{V}\|} \vec{V'}$

Avec $\frac{\vec{V}}{\|\vec{V}\|} = \vec{u}$ représentant le vecteur unitaire de $\vec{V}$ ; on observe que :

$\|\vec{V'}\| = \vec{u}.\vec{V'}$

On retiendra que

$\vec{u}.\vec{V'}$

représente la mesure algébrique de la projection de $\vec{V'}$ sur la droite directrice support de $\vec{V}$.

Dérivée d'un vecteur unitaire

Soit un vecteur unitaire définit comme suit :

$\vec{u} = \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix}$

Les coordonnées de ce vecteur dérivé sont :

$\vec{u'} = \begin{pmatrix} -\sin \alpha \\ \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (\alpha + \frac{\pi}{2}) \\ \sin (\alpha + \frac{\pi}{2}) \end{pmatrix}$

On observe que :

$\vec{u'}$ est perpendiculaire $\vec{u}$

Par récurrence :

$\vec{u''}$ est perpendiculaire $\vec{u'}$

On en déduit que :

$\vec{u''} = -\vec{u}$

D'où une expression de la dérivée d'ordre n comme suit :

$\vec{u^{n}} = \begin{pmatrix} \cos (\alpha + n\frac{\pi}{2}) \\ \sin (\alpha + n\frac{\pi}{2}) \end{pmatrix}$

Dérivée du produit vectoriel

Soit deux vecteurs dérivables :

$\vec{U}$ et $\vec{V}$

Soit le vecteur :

$\vec{U}\wedge\vec{V}$

sa dérivée est : $(\vec{U}\wedge\vec{V})' = \vec{U'}\wedge\vec{V} + \vec{U}\wedge\vec{V'}\;$

Développement limité

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Voir aussi

• Espace vectoriel
• Calcul vectoriel en géométrie euclidienne
• Vecteur