Dérivée arithmétique

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, la dérivée arithmétique est une fonction définie sur les entiers naturels, basée sur la décomposition en facteurs premiers, par analogie avec la règle du produit pour le calcul des dérivées utilisé en analyse.

Définition

Il existe sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ une application unique notée $n\mapsto n'$ et appelée dérivée arithmétique, telle que

• $\scriptstyle p' \;=\; 1 \!$ pour tous les nombres premiers $\scriptstyle p \!$.
• $(ab)'\;=\;a'b\,+\,ab' \!$ pour tous $\scriptstyle a \textrm{,}\, b \;\in\; \mathbb{N}$ (règle de Leibniz).

On déduit facilement de la règle du produit^[1] que $\scriptstyle 0'=1'=0$  ; plus généralement, si on pose

$x = p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}\textrm{,}$

(où $\scriptstyle p_1,\, \dots,\, p_k$ sont des nombres premiers distincts et $\scriptstyle e_1,\, \dots,\, e_k$ des entiers), on obtient^[2]

$x' = \sum_{i=1}^k e_ip_1^{e_1}\cdots p_i^{e_i-1}\cdots p_k^{e_k} = x\sum_{i=1}^k \frac{e_i}{p_i} .$

La dérivée arithmétique vérifie également la formule usuelle pour les puissances (entières) :

$(x^n)' = nx'x^{n-1}\!$, et en particulier pour p premier $(p^n)' = np^{n-1}\textrm{.}\!$

La suite des dérivées arithmétiques des entiers k = 0, 1, 2, ... commence par  :

0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, ... (c'est la suite A003415 de l’OEIS).

E.J. Barbeau fut le premier à formaliser cette définition^[3], qu'il étendit à tous les entiers en montrant qu'elle entraîne $\scriptstyle (-x)' \;=\; -x'$ ; il montra également que la formule précédente s'étend aux rationnels en admettant des exposants négatifs. Victor Ufnarovski et Bo Åhlander l'étendirent encore à certains irrationnels, en acceptant des exposants rationnels arbitraires.

Alexandru Buium et Michael Stay ont généralisé la dérivation arithmétique à d'autres objets classiques du calcul différentiel ; ils définissent par exemple la notion de dérivée arithmétique partielle (par rapport à un nombre premier p) en posant "dx/dp" = $\scriptstyle(x-x^p)/p$ (qui est un entier d'après le petit théorème de Fermat).

Relations avec la théorie des nombres

Victor Ufnarovski et Bo Åhlander ont montré que cette fonction permet d'exprimer simplement diverses conjectures liées à de célèbres questions ouvertes en théorie des nombres, telle que la conjecture des nombres premiers jumeaux, ou la conjecture de Goldbach. Par exemple, la conjecture de Goldbach entraîne l'existence, pour chaque k > 1, d'un n tel que n' = 2k. L'existence d'une infinité de nombres premiers jumeaux entraine qu'il existe une infinité de k pour lesquels k'' = 1.

Notes

1. ↑ En effet, $\scriptstyle 0'=(0\times0)'=2(0\times0')=0$ et $\scriptstyle 1'=(1\times1)'=2(1\times0')=2\times1'$
2. ↑ V. Ufnarovski, How to Differentiate a Number, théorème 1 ; on a par exemple $\scriptstyle 81' = (3^4)' = (9\cdot 9)' = 9'\cdot 9 + 9\cdot 9' = 2[9(3\cdot 3)'] = 2[9(3'\cdot 3 + 3\cdot 3')] = 2[9\cdot 6] = 108 = 4\cdot 3^3.$
3. ↑ Mais Michael Stay fait remarquer qu'elle a été redécouverte indépendamment à plusieurs reprises par la suite

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arithmetic derivative » (voir la liste des auteurs)

• (en) E. J. Barbeau, Remark on an arithmetic derivative, Canadian Mathematical Bulletin, Vol. 4 (1961), pp. 117–122.
• (en) Victor Ufnarovski et Bo Åhlander, How to Differentiate a Number, Journal of Integer Sequences Vol. 6 (2003), Article 03.3.4.
• (en) Arithmetic Derivative de PlanetMath
• (en) Linda Westrick, Investigations of the Number Derivative.
• (en) Ivars Peterson (en), Math Trek: Deriving the Structure of Numbers.
• (en) Michael Stay, Generalized Number Derivatives.
• (en) Alexandru Buium, Arithmetic analogues of derivations. J. Algebra 198 (1997), no. 1, 290-299.