Dés non transitifs

Des dés non transitifs sont un ensemble de dés où, si un premier dé a plus de chances de donner un plus grand résultat qu'un deuxième et si celui-ci a plus de chance qu'un troisième, ce dernier peut tout de même avoir plus de chance de l'emporter sur le premier. En d'autres termes, la relation « a une plus grande probabilité de donner un plus grand nombre » n'y est pas transitive.

Cette situation est similaire à celle du jeu pierre-feuille-ciseaux où chaque élément gagne par rapport à l'un des deux autres et perd par rapport au dernier.

Exemples

Exemple général

Un exemple de dés non transitifs (les faces cachées ont les mêmes valeurs que celles affichées)

Soit le jeu de trois dés à 6 faces A, B, C suivant :

• le dé A porte les numéros {2,2,4,4,9,9} sur ses faces ;
• le dé B porte {1,1,6,6,8,8} ;
• le dé C porte {3,3,5,5,7,7}.

Alors :

• la probabilité que A donne un plus grand nombre que B est 5/9 ;
• la probabilité que B donne un plus grand nombre que C est 5/9 ;
• la probabilité que C donne un plus grand nombre que A est 5/9.

Dans cet exemple, A a plus de chances de gagner sur B, qui a lui même plus de chances de l'emporter sur C, lequel a à son tour plus de chances de donner un plus grand résultat que A.

Dés d'Efron

Dés d'Efron

Les dés d'Efron^[1] sont un jeu de quatre dés non transitifs inventés par Bradley Efron (en). Les quatre dés A, B, C, D portent les numéros suivants sur leurs six faces :

• A : 4, 4, 4, 4, 0, 0 ;
• B : 3, 3, 3, 3, 3, 3 ;
• C : 6, 6, 2, 2, 2, 2 ;
• D : 5, 5, 5, 1, 1, 1.

La probabilité que A batte B, B batte C, C batte D et D batte A est égale à 2/3.

Les autres probabilités varient suivant les dés :

• la probabilité que A batte C est de 4/9 ;
• la probabilité que B batte D est égale à 1/2 ;
• la probabilité que C batte A vaut 5/9 ;
• la probabilité que D batte B est de 1/2.

En revanche, la probabilité qu'un dé en batte un autre pris au hasard parmi les trois restants n'est pas égale suivant les dés :

• dans le cas de A, elle vaut 13/27 ;
• pour B, 1/2 ;
• pour C, 14/27 ;
• pour D, 1/2.

Globalement, le meilleur dé pour gagner un jeu totalement aléatoire est donc C, qui gagne dans près de 52 % des cas.

Dés numérotés de 1 à 24

Un jeu de quatre dés utilisant tous les nombres de 1 à 24 peut être rendu non transitif avec la combinaison suivante :

• A : 1, 2, 16, 17, 18, 19
• B : 3, 4, 5, 20, 21, 22
• C : 6, 7, 8, 9, 23, 24
• D : 10, 11, 12, 13, 14, 15

B bat A, C bat B, D bat C et A bat D avec la probabilité de 2/3.

Dés de Miwin

Dés de Miwin

Les dés de Miwin (en)^[2] ont été inventés en 1975 par le physicien Michael Winkelmann et sont répartis de la sorte :

• A : 1, 2, 5, 6, 7, 9
• B : 1, 3, 4, 5, 8, 9
• C : 2, 3, 4, 6, 7, 8

B l'emporte sur A, C sur B et A sur C avec la probabilité 17/36.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Nontransitive dice » (voir la liste des auteurs)

1. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Efron's Dice », MathWorld
2. ↑ (en) Miwin's Dice sur miwin.com

Voir aussi

Articles connexes

• Dés de Sicherman
• Phénomène de Rogers

Liens externes

• (en) Tricky Dice Revisited (Science News)
• (en) Non-Transitive Dice (Jim Loy)

Bibliographie

(en) Martin Gardner, The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems, 1^re éd., New York, Norton, 2001 (ISBN 0-393-02023-1), p. 286-311