Déterminant de Hurwitz

Les déterminants de Hurwitz sont nommés en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz.

Soit P un polynôme en la variable λ de la forme:

$P(\lambda)= a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + a_1 \lambda + a_0$

où a_i est une fraction rationnelle dans $\mathbb{R}(Z)$, Z étant l'ensemble des coordonnées, pour tout i dans $\{1,\dots,n\}$.

La matrice de Hurwitz (matrice carrée) associée à P est donnée ci-dessous:

$H= \begin{pmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \dots & \dots & 0 & \dots & 0 \\ a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & & & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n-1} & a_{n-3} & & & 0 & & \vdots \\ \vdots & a_n & & \ddots & & a_0 & \vdots & \vdots \\ \vdots & 0 & & & \ddots & a_1 & 0 & \vdots \\ \vdots & \vdots & 0 & & & a_2 & a_0 & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & & & a_3 & a_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \dots & a_4 & a_2 & a_0 \end{pmatrix}.$

Le ième déterminant de Hurwitz est le déterminant du ième mineur principal de la matrice de Hurwitz H donnée ci-dessus. Il y a n déterminants de Hurwitz pour un polynôme caractéristique de degré n.

Notes et Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hurwitz determinants » (voir la liste des auteurs)