Ensemble simplicial

Un ensemble simplicial X est un objet de nature combinatoire intervenant en topologie. Il est la donnée de :

• Une famille (X_n) d'ensembles, indexée par les entiers naturels, les éléments de X_n étant pensés comme des simplexes de dimension n ;
• Pour toute application croissante $f:[0,m]\rightarrow [0,n]$, une application $X(f):X_n\rightarrow X_m$, telle que

  $X(f\circ g)=X(g)\circ X(f)$.

Homologie

Soit K un corps (ou un anneau). Pour tout entier naturel n, il existe une unique injection croissante de [0,n] dans [0,n+1], dont l'image ne contient pas i, et elle est notée e_iⁿ. On définit l'application linéaire

$d:K[X_{n+1}]\rightarrow K[X_n]:x\mapsto \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^iX(e_i^n)(x)$.

De la sorte, on a défini un complexe de chaines, et donc une homologie.

Voir aussi

• Nerf d'un recouvrement, exemple d'ensemble simplicial ;
• Complexe simplicial.

Références

• S.I. Gelfand et Yu. I. Manin, Methods of homological algebra, chapter 1