Espace de Thom

En topologie, l'espace de Thom est un espace topologique associé à un fibré vectoriel. Il est au cœur de plusieurs constructions homotopiques, parmi lesquelles la construction de Thom-Pontriaguine et le spectre (en) de Thom.

Il porte le nom de René Thom, qui a introduit ces constructions en 1954^[1].

Construction

Soit η un fibré vectoriel de rang k sur un espace topologique X. Notons E(η) l'espace total de ce fibré. Si l'on munit les fibres de η d'un produit scalaire, on peut définir les fibrations en boules et en sphères associées : $D(\eta) = \left\{ v \in E(\eta) \, | \, \|v\| \leq 1 \right\}$ et $S(\eta) = \left\{ v \in E(\eta) \, | \, \|v\| = 1 \right\}$. La restriction de η à ces deux espaces topologiques définit naturellement une fibration en boules B^k et en sphères S^{k − 1}, respectivement. On vérifie facilement qu'à isomorphisme près, ces deux fibrations ne dépendent pas du choix initial d'un produit scalaire et sont donc naturellement associées à η.

L'espace de Thom T(η) du fibré η est alors simplement le quotient D(η) / S(η). En d'autres termes, on obtient T(η) à partir du fibré en boules D(η) en identifiant tous les points de S(η). De manière équivalente, T(η) est le compactifié d'Alexandroff de l'espace total E(η).

Note

1. ↑ R. Thom, « Quelques propriétés globales des variétés différentiables », dans Comm. Math. Helv. (en), vol. 28, 1954, p. 17–86