Espace strictement convexe

En mathématiques, un espace strictement convexe est un espace normé dont la boule unité est strictement convexe dans le sens précisé ci-dessous. Cette propriété de la norme est moins forte que celle possédée par la norme d'un espace uniformément convexe ou d'un espace réflexif (à un changement de norme équivalente près), mais elle permet toutefois aux espaces strictement convexes d'avoir certaines des propriétés remarquables d'espaces plus structurés. Une norme conférant à l'espace vectoriel qu'elle équipe la propriété de stricte convexité est appelée une norme arrondie.

Définition

La définition peut prendre plusieurs formes équivalentes^[1].

Espace strictement convexe — Un espace strictement convexe est un espace normé $\mathbb{E}$, dont la norme notée $\|\cdot\|$ vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

1. $\|x\|\leqslant 1$, $\|y\|\leqslant 1$, $x\ne y$ et 0 < t < 1 impliquent $\|(1-t)x+ty\|<1$,
2. $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ implique l'existence de scalaires $\alpha\geqslant0$ et $\beta\geqslant0$ tels que α + β > 0 et αx = βy,
3. pour tout (ou un) p > 1, $\|\cdot\|^p$ est strictement convexe.

Une norme conférant à l'espace vectoriel qu'il équipe la propriété de stricte convexité est appelée une norme arrondie.

La stricte convexité d'un espace normé donné n'est pas conservée par changement de norme équivalente : tout espace normé de dimension finie est strictement convexe et toutes ses normes sont équivalentes, mais toutes ne permettent pas d'avoir les propriétés énoncées dans la définition – pas les normes $\ell_1$ et $\ell_\infty$ par exemple. Il s'agit donc plus d'une propriété de la norme que de la topologie qu'elle définit. Pour cette raison, on parle parfois de norme strictement convexe^[2], mais cela introduit une ambiguïté de langage dont il faudra se méfier, car l'application $x\mapsto\|x\|$ n'est jamais strictement convexe, puisqu'elle est positivement homogène de degré un : $\|t x\|=t\|x\|$ pour tout $t\geqslant0$. C'est en réalité la puissance p > 1 de la norme qui est strictement convexe, comme l'indique la définition 3. Certains auteurs^[3] préfèrent donc utiliser l'expression de norme arrondie, pour éviter l'ambiguïté relevée ci-dessus.

Existence

À un changement de norme équivalente près, un espace réflexif est strictement convexe^[4].

Existence de norme strictement convexe — Un espace de Banach réflexif peut être muni d'une norme équivalente arrondie.

Propriété

On dit que $f\in\mathbb{E}'$ est un élément conjugué dual de $x\in\mathbb{E}\setminus\{0\}$ si $\langle f,x\rangle=\|f\|\,\|x\|$ et $\|f\|=\|x\|$.

Unicité de l'élément conjugué dual — Si $\mathbb{E}$ est un espace normé tel que son dual topologique $\mathbb{E}'$ soit strictement convexe, alors pour tout $x\in\mathbb{E}\setminus\{0\}$ il existe un unique $f\in\mathbb{E}'$ tel que $\|f\|=1$ et $\langle f,x\rangle=\|x\|$.

L'existence de cet élément conjugué dual $f\in\mathbb{E}'$ de $x/\|x\|$ est assurée dans tout espace normé (par le théorème de Hahn-Banach et donc au moyen du lemme de Zorn) et c'est le caractère strictement convexe de $\mathbb{E}'$ qui assure l'unicité.

Annexes

Notes

1. ↑ La définition 1 est la plus courante, avec ses variantes : $\|x\|=1$, $\|y\|=1$, $x\ne y$ et 0 < t < 1 impliquent $\|(1-t)x+ty\|<1$ ; parfois avec seulement t = 1 / 2. La définition 2 est utilisé par Lindenstrauss (1965). La définition 3 est utilisée par Asplund (1967) avec p = 2.
2. ↑ Par exemple Lindenstrauss (1965), p. 200.
3. ↑ Par exemple, Asplund (1967) utilise le vocable rotund norm. Phelps (1989) utilise indifféremment les vocables strictly convex norm et rotund norm.
4. ↑ Résultat dû à Lindenstrauss (1966).

Articles connexes

• Espace réflexif
• Espace uniformément convexe

Bibliographie

• (en) E. Asplund (1967). Averaged norms. Israel Journal of Mathematics, 5, 227-233.
• (en) J. Lindenstrauss (1965). On reflexive spaces having the metric approximation property. Israel Journal of Mathematics, 3, 199-204.
• (en) J. Lindenstrauss (1966). On nonseparable reflexive Banach spaces. Bulletin of the American Mathematical Society, 72, 967-970.
• (en) R.R. Phelps (1989). Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability. Lecture Notes in Mathematics 1364, Springer-Verlag.