Espace tangent (géométrie algébrique)

En géométrie algébrique, on peut définir la notion d'espace tangent (de Zariski) sans faire (explicitement) de calcul différentiel. C'est en quelque sorte une première approximation de la structure locale du schéma.

Définition pour un anneau local

Soit A un anneau local d'idéal maximal M. Soit k_A = A / M le corps résiduel de A. Pour a ∈ A et m,m' ∈ M, on remarque que

$(a+m')m = am+m'm \equiv am \mod M^2$

avec M² le produit d'idéal de M par lui-même. Ainsi le quotient de A-modules M / M² est un k_A-espace vectoriel ; on l'appelle espace cotangent et son dual espace tangent de Zariski de A. Notons-le T_A.

On a l'isomorphisme suivant :

$\begin{array}{rcl} \phi : \frac{M}{M^2} & \to & M \otimes_A k_A \\ \overline{m} & \mapsto & m \otimes_A 1\end{array}$

avec $\otimes_{A}$ le produit tensoriel de A-modules. Ces espaces vectoriels sont de dimension finie si A est noethérien car M est alors un module de type fini.

Si $A\to B$ est un homomorphisme d'anneaux locaux noethériens, on a canoniquement une application k_B-linéaire $T_B\to (T_A\otimes k_B)$.

On sait que la dimension de l'espace tangent d'un anneau local noethérien A est toujours minorée par la dimension de Krull de A. Par définition, l'anneau local A est dit régulier s'il y a égalité.

Le cas des schémas

Soit x un point d'un schéma X. Soient m_x l'idéal maximal de l'anneau local O_X,x de X en x. Rappelons que le corps k(x) = O_X,x / m_x est le corps résiduel en x. L'espace tangent de Zariski de X en x est par définition l'espace tangent de l'anneau local O_X,x. On le note T_X,x.

La construction des espaces tangents est fonctorielle pour les schémas noethériens. Si $f : X\to Y$ est un morphisme de schémas noethériens, alors f induit canoniquement une application linéaire $T_{X,x}\to T_{Y,y}\otimes_{k(y)} k(x)$, où y = f(x). Cette application est l'application tangente de f en x, que l'on note parfoisT_f,x. Lorsque k(y) = k(x) (par exemple si X,Y sont des variétés algébriques sur un corps et si x est un point rationnel de X), c'est une application $T_{X,x}\to T_{Y,y}$.

Exemples

• L'espace tangent de l'espace affine Aⁿ sur un corps k en un point rationnel est de dimension n.
• Supposons k algébriquement clos pour simplifier. Soit X = Spec(k[u,v] / (u² − v³)). Alors l'espace tangent de X au point u = v = 0 est un k-espace vectoriel de dimension 2. Il est de dimension 1 aux autres points fermés, de dimension 0 au point générique.

Pour tout schéma localement noethérien X et pour tout point x de X, on a

$\dim O_{X,x} \le \dim_{k(x)} T_{X,x}.$

La dimension de gauche étant la dimension de Krull de l'anneau local O_X,x, celle de droite étant la dimension vectorielle. L'égalité définit les points réguliers de X.

Fibré tangent

Si X est un schéma lisse de dimension n sur un corps k, de sorte que le faisceau des différentielles relatives Ω_{X / k} sur X soit un fibré vectoriel de rang n, alors le faisceau dual $\Omega_{X/k}^{\vee}$ est aussi un fibré vectoriel de rang n. Pour tout point rationnel x, on a un isomorphisme canonique

• $\Omega_{X/k}^{\vee}\otimes_{O_{X,x}} k(x) \to T_{X,x}.$

Donc intuitivement les espaces tangents forment un fibré vectoriel au-dessus de X.

Espace tangent d'un sous-schéma fermé, critère jacobien

Si $i : Z\to X$ est une immersion fermée, alors pour tout point x de Z, on a k(x) = k(i(x)) et l'application tangente T_i,x est injective.

Exemple On prend pour X l'espace affine de dimension n sur un corps k et Z la sous-variété fermée définie par des polynômes $F_1,\ldots, F_m$ à n variables. Soit x un point rationnel de Z. Pour tout polynôme $F=F(T_1,\ldots, T_n)$, notons D_xF la forme linéaire sur kⁿ

$D_xF (t_1,\ldots, t_n)=\sum_{i}({\partial F}/{\partial T_i})(x) t_i .$

C'est la différentielle de F en x. Après avoir identifié l'espace tangent de X en x avec kⁿ, on a un isomorphisme de T_Z,x avec l'intersection des sous-espaces vectoriels

$\{ t=(t_1,\ldots,t_n) \mid D_xF_j(t)=0\}, j=1,2, \dots, m.$

Soit ${\rm Jac}_x(F_1,\ldots, F_m)$ la matrice $m\times n$ dont les lignes représentent les formes linéaires $D_xF_1, \ldots, D_xF_m$. Alors on a $\dim T_{Z,x} + {\rm rg} ({\rm Jac}_x(F_1,\ldots, F_m))= n.$

Théorème —  (Critère Jacobien) La variété algébrique $Z={\rm Spec} k[T_1,\ldots, T_n]/(F_1,\ldots, F_m)$ est régulière en un point rationnel x si et seulement si le rang du jacobien ${\rm Jac}_x(F_1,\ldots, F_m)$ en x est égal à n − dim O_Z,x.

Exemple Si Z est une hypersurface définie par un polynôme non-nul $F(T_1,\ldots,T_n)$. Alors Z est régulière en un point rationnel x si et seulement si la matrice jacobienne en x est de rang 1. Ce qui revient à dire qu'une des dérivées partielles de F en x est non-nulle. Par conséquent, Z est une variété algébrique lisse si et seulement si F et ses dérivées partielles engendrent l'idéal unité dans $k[T_1,\ldots, T_n]$.