Espace totalement discontinu

En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace totalement discontinu est un espace topologique qui est « le moins connexe possible » au sens où il n'a pas de partie connexe non triviale. Dans tout espace topologique, l'ensemble vide et les singletons sont connexes ; dans un espace totalement discontinu, ce sont les seules parties connexes.

Un exemple populaire d'espace totalement discontinu est l'ensemble de Cantor. Un autre exemple, important en théorie algébrique des nombres, est le corps Q_p des nombres p-adiques.

Définition

Un espace topologique X est totalement discontinu si la composante connexe de tout point x de X est le singleton { x }.

Exemples

Les espaces suivants sont totalement discontinus :

• les espaces discrets
• l'espace des nombres rationnels
• celui des irrationnels
• celui des nombres p-adiques, ou plus généralement, tout groupe profini
• l'ensemble de Cantor, et l'espace de Cantor {0,1}^N (qui lui est homéomorphe)
• l'espace de Baire (en) N^N
• la droite de Sorgenfrey (en), i.e. l'ensemble des nombres réels muni de la topologie dont une base d'ouverts est formée des intervalles semi ouverts de la forme [ a,b [.
• le plan de Sorgenfrey (en), produit de cette droite par elle-même
• les espaces T₁ de dimension 0 (en)
• les espaces (séparés) extrêmement discontinus (en), i.e. dans lesquels l'adhérence de tout ouvert est ouverte
• le tipi de Cantor (en) ou éventail de Knaster (en)-Kuratowski, privé de son sommet (bien qu'il soit métrisable, séparable et de dimension 1, et bien que le tipi avec son sommet soit connexe)^[1]
• l'espace d'Erdős^[2] des suites de rationnels de carré sommable et ses généralisations^[3] (bien qu'ils soient, eux aussi, de dimension 1)
• l'espace de Stone (en) S(B) de toute algèbre de Boole B (dont les points sont les ultrafiltres sur B, et dont une base d'ouverts est constituée des $\{x\in S(B)~ |~b\in x\}$, pour b élément de B)

Propriétés

• Les sous-espaces, espaces produits et coproduits d'espaces totalement discontinus sont totalement discontinus.
• Un espace totalement discontinu est toujours T₁, puisque ses singletons sont fermés.
• Une image continue d'un espace totalement discontinu n'est pas nécessairement totalement discontinue (par exemple : tout compact métrisable est une image continue de l'espace de Cantor).
• Tout espace localement compact totalement discontinu est de dimension 0.
• Tout espace métrisable totalement discontinu est homéomorphe à un sous-espace d'un produit dénombrable d'espaces discrets.
• Pour tout espace topologique X, l'espace des composantes connexes de X est « le plus gros » quotient de X totalement discontinu, au sens où il est initial parmi de tels quotients.

Notes et références

Notes

1. ↑ (en) Keio Nagami, Dimension theory, Academic Press, 1970 (ISBN 9780125136501) , exemple 9.12 p. 54
2. ↑ (en) P. Erdős, « The dimension of the rational points in Hilbert space », dans Annals of Math., 2^e série, vol. 41, 1940, p. 734-736 [texte intégral] 
3. ↑ (en) Jan J. Dijkstra, « A criterion for Erdős spaces », dans Proc. Edinb. Math. Soc., 2^e série, vol. 48, n^o 3, 2005, p. 595–601 [texte intégral] 

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Totally disconnected space » (voir la liste des auteurs)
• (en) Stephen Willard, General Topology, Dover, 2004 (ISBN 978-0-486-43479-7) 

Article connexe

• Groupe totalement discontinu (en)