Espace uniforme

En mathématiques, la notion d'espace uniforme est une généralisation de celle d'espace métrique. Une structure uniforme est une structure qui permet de définir la continuité uniforme. On peut y parvenir de deux manières différentes, l'une en généralisant la notion de distance, l'autre avec une axiomatique proche de celle des espaces topologiques. On montre que ces deux approches sont équivalentes.

Écarts

Définition

Soit E un ensemble. On appelle écart^[1] sur l'ensemble E une application d, de ExE dans l'intervalle [0, +∞] de la droite réelle achevée $\scriptstyle\overline{\R}$, telle que

1. $\forall x\in E,\qquad d(x,x)=0~,$
2. $\forall x,y\in E,\qquad d(x,y)=d(y,x)~,$
3. $\forall x,y,z\in E,\qquad d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)~.$

On constate deux différences par rapport à la notion de distance :

• la première est mineure : un écart peut prendre la valeur +∞. Mais on peut toujours remplacer d par un écart équivalent (du point de vue de la topologie et de la structure uniforme) à valeurs finies, par exemple min(1,d).
• la seconde est essentielle : un écart ne vérifie pas nécessairement l'axiome de séparation car il peut exister dans E deux éléments distincts x, y pour lesquels d(x, y) est nul.

Topologie associé à un écart

Article détaillé : espace pseudométrique.

On définit la topologie associée à un écart de la même façon que pour une distance. On considère les boules ouvertes $B(x,r)=\{y\in E\mid d(x,y)<r\}$. Les ouverts de E sont alors les réunions de boules ouvertes. La topologie obtenue n'est en général pas séparée, ni même T₀. Cette topologie est séparée si et seulement si l'axiome de séparation ci-dessus est vérifié.

On dira que deux écarts sont équivalents si et seulement s'ils définissent la même topologie.

Si f est une fonction croissante telle que f(0) = 0, continue en 0 et strictement croissante au voisinage de 0. En posant t(x,y) = f(d(x,y)), on obtient un écart équivalent à d. En particulier en utilisant la fonction f(x) = x / (x + 1), on prouve que tout écart est équivalent à un écart fini. Il est donc possible de ne travailler qu'avec des écarts qui ne prennent jamais la valeur infinie.

Exemples

• L'espace des fonctions d'un ensemble X dans l'ensemble des réels peut être muni de l'écart de la convergence uniforme : $d(f,g) = \sup_{x\in X} |f(x)-g(x)|~$. Lorsque f-g n'est pas bornée, cet écart est infini. la topologie obtenue est celle bien connue de la convergence uniforme. Cette topologie est séparée.

• L'espace des fonctions intégrable de I dans R peut être muni de la semi-norme $||f|| = \int_I |f|~$ puis de l'écart associé $d(f,g)=||f-g||~$. La topologie associée n'est pas séparée.

Structure uniforme et topologie associée

On appelle structure uniforme sur E la donnée d'une famille d'écarts sur E. À cette structure uniforme, on associe la topologie engendrée par les topologies associées à chaque écart individuellement, c'est-à-dire la topologie initiale associée à cette famille (topologie la moins fine sur E pour laquelle tous ces écarts sont continus).

Entourages

Définition

Une définition alternative (mais équivalente) d'une structure uniforme sur un ensemble E est la donnée d'un ensemble non vide de parties de E×E, appelées entourages de la structure, vérifiant les axiomes ci-dessous.

• Tout entourage contient la diagonale de E×E.
• Toute partie de E×E qui contient un entourage est un entourage.
• L'intersection de deux entourages est un entourage.
• En notant $V^{-1}=\{(y,x)\mid (x,y)\in V\}$, pour tout entourage V, l'ensemble V ^{− 1} est aussi un entourage.
• En notant $W^2=\{(x,y)\in E^2\mid \exists z\in E,\ (x,z)\in W, (z,y)\in W\}$, pour tout entourage V, il existe un entourage W tel que W ² ⊂ V.

Remarquons que l'ensemble des entourages est un filtre.

Équivalence avec la définition par les écarts

Toute structure uniforme définie par une famille d'écarts possède une famille d'entourages. Lorsque la structure uniforme est donné par un écart, les entourages sont les surensembles des ensembles de la forme $V_r=\{(x,y)\mid d(x,y)<r\}$ avec r réel strictement positif. Lorsque celle-ci est définie par une famille d'écarts $(f_i)_{i\in I}$, les entourages sont les intersections d'un nombre fini d'entourages associés à un nombre fini d'écarts de la famille.

Il est possible de saturer cette famille d'écarts en ajoutant aux écarts déjà présents toutes les bornes supérieures d'un nombre fini d'écarts. La structure uniforme obtenue est alors identique (mêmes entourages). L'avantage de la saturation consiste à n'avoir besoin que d'un seul écart et non pas d'une famille finie dans la définition ci-dessus de la structure uniforme.

Réciproquement, si on se donne une famille d'entourages sur un ensemble, on peut définir une famille d'écarts dont la famille d'entourages associés est la famille donnée^[2],[3].

Topologie associée

La topologie associée à une structure uniforme, précédemment définie en termes d'écarts, se reformule en termes d'entourages : les voisinages de x sont les ensembles de la forme $V_x=\{y\in E\mid (x,y)\in V\}$ où V parcourt l'ensemble des entourages.

Espace topologique uniformisable

Un espace topologique est dit uniformisable si et seulement s'il existe une structure uniforme qui induit sa topologie. Les espaces uniformisables sont ceux qui vérifient l'axiome de séparation T_{3 1/2} .

Exemples :

• Tout groupe topologique est uniformisable d'au moins deux façons, qui coïncident si le groupe est abélien.
• La topologie faible d'un espace vectoriel normé ou de son dual topologique est uniformisable. On utilise les formes linéaires continues en module comme famille d'écarts.

Continuité uniforme

Une application f d'un espace uniforme E dans un espace uniforme F est uniformément continue lorsque l'image réciproque par fxf de tout entourage est un entourage.

La composée de deux applications uniformément continues est uniformément continue. Les espaces uniformes forment ainsi une catégorie.

Toute application uniformément continue est continue pour les topologies sous-jacentes. On a donc un foncteur d'oubli de la catégorie des espaces uniformes vers celle des espaces topologiques.

Les produits existent dans ces deux catégories, et la topologie induite par une structure uniforme produit coïncide avec la topologie produit des topologies induites^[4] (autrement dit : le produit commute avec le foncteur d'oubli).

Tout morphisme continu de groupes topologiques est uniformément continu pour les structures uniformes à droite (resp. gauche) associées^[5].

Espace complet

Un filtre dans un espace uniforme est dit de Cauchy si et seulement si pour tout entourage V, il existe un élément A du filtre tel qu'AxA est inclus dans V.

Dans un espace uniforme, tout filtre convergent est de Cauchy. L'espace est dit complet lorsque réciproquement, tout filtre de Cauchy est convergent.

Cette notion généralise celle d'espace métrique complet :

1. si la structure uniforme est induite par une distance, la complétude de l'espace uniforme, au sens ci-dessus, équivaut à la complétude de l'espace métrique.
2. de même que tout espace métrique admet un unique espace métrique complété, tout espace uniforme X admet un unique espace uniforme complété-séparé $\hat X$, vérifiant la propriété universelle analogue^[6] : toute application uniformément continue de X dans un espace uniforme séparé complet se factorise de façon unique par $\hat X$.

Tout sous-espace fermé d'un espace uniforme complet est complet.

Tout sous-espace complet d'un espace uniforme séparé est fermé.

Un produit d'espaces uniformes non vides est complet si et seulement si chaque facteur l'est^[7].

Notes et références

1. ↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Topologie générale, chapitre IX, anciennement chapitre VII
2. ↑ Bourbaki, TG II et IX
3. ↑ François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie, ENS Fontenay éd., (1985) p.35
4. ↑ Bourbaki, TG II.10
5. ↑ Bourbaki, TG I à IV, Springer Verlag (2006), ISBN 978-3-540-33936-6 : III.21
6. ↑ Bourbaki, TG II.21
7. ↑ Bourbaki, TG II.17