Fonction d'appui

En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé $\mathbb{E}$ est la fonction convexe qui à une forme linéaire continue s sur $\mathbb{E}$ associe la borne supérieure de s(P) dans $\bar{\R}$.

Définition

La fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé $\mathbb{E}$ est la fonction notée σ_P et définie par

$\sigma_P:\mathbb{E}'\to\bar{\R}:s\mapsto\sigma_P(s)=\sup_{x\in P}\,\langle s,x\rangle,$

où $\mathbb{E}'$ est le dual topologique de $\mathbb{E}$ et $\langle s,x\rangle$ est la valeur de la forme linéaire continue s en x.

Exemples

La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.

• La fonction conjuguée de la fonction indicatrice d'une partie P de $\mathbb{E}$ est la fonction d'appui de P.
• La fonction d'appui de la boule unité de $\mathbb{E}$ est la norme canonique du dual $\mathbb{E}'$.
• Si $\mathbb{E}$ est un espace euclidien et si f est une fonction convexe propre définie sur $\mathbb{E}$ à valeurs dans $\R\cup\{+\infty\}$, sa dérivée directionnelle $f'(x;\cdot)$ en un point x dans l'intérieur relatif de son domaine est la fonction d'appui du sous-différentiel de f en x (voir Formule du max).

Propriétés

Que l'ensemble P soit convexe ou pas, sa fonction d'appui est toujours convexe et fermée.

Sous-linéarité et fermeture — La fonction d'appui est sous-linéaire et fermée.

On note ci-dessous $\overline{\operatorname{co}} P$ l'enveloppe convexe fermée de $P\subset\mathbb{E}$.

Ensemble inclus — Soient P₁ et P₂ des parties non vides de $\mathbb{E}$. Alors

$\begin{array}{rcl} \sigma_{P_1}\leqslant\sigma_{P_2} &\Longleftrightarrow& \overline{\operatorname{co}} P_1\subset\overline{\operatorname{co}} P_2, \\ \sigma_{P_1}=\sigma_{P_2} &\Longleftrightarrow& \overline{\operatorname{co}} P_1=\overline{\operatorname{co}} P_2. \end{array}$

On note ci-dessous $\overline{P}$ l'adhérence de $P\subset\mathbb{E}$ et $\operatorname{co} P$ son enveloppe convexe.

Invariance par prise d'enveloppe convexe et de fermeture — Soit P une partie non vide de $\mathbb{E}$. Alors

$\sigma_P =\sigma_{\overline{P}} =\sigma_{\operatorname{co} P} =\sigma_{\overline{\operatorname{co}} P}.$

Règles de calcul

Somme pondérée d'ensembles — Pour $i\in\{1,\ldots,m\}$, on suppose donnés des parties non vides P_i de $\mathbb{E}$ et des scalaires $\alpha_i\geqslant 0$. Alors

$\sigma_{_{\left(\sum_{i=1}^m\alpha_iP_i\right)}}= \sum_{i=1}^m\alpha_i\,\sigma_{_{P_i}}.$

Transformation par une application linéaire — Soient $\mathbb{F}$ un autre espace normé, $A:\mathbb{E}\to \mathbb{F}$ une fonction linéaire continue, A ^* son adjointe et P une partie non vide de $\mathbb{E}$. Alors, pour tout $h\in \mathbb{F}$ :

σ_A(P)(h) = σ_P(A ^* h).

Bibliographie

• (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 978-3-540-42205-1.
• (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.