Fonction marginale

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, la fonction marginale associée à une fonction de deux variables $(x,y)\mapsto\varphi(x,y)$ est la fonction dont la valeur en x est obtenue en minimisant φ(x,y) en y. Dans certains contextes, elle est dénommée fonction valeur.

Cette fonction apparaît lorsqu'on étudie la perturbation de problème d'optimisation, dans la dualisation de problème d'optimisation, dans des techniques de construction de fonction comme l'inf-convolution, dans la définition de la régularisée de Moreau-Yosida, etc. Le concept est généralisé par l'inf-image sous une application linéaire.

Définition

Soient $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ deux ensembles et $\varphi:\mathbb{E}\times \mathbb{F}\to\bar{\R}:=\R\cup\{-\infty,+\infty\}$ une fonction. La fonction marginale de φ est la fonction $f:\mathbb{E}\to\bar{\R}$ dont la valeur en $x\in\mathbb{E}$ est la borne inférieure de $\varphi(x,\mathbb{F}):=\{\varphi(x,y):y\in\mathbb{F}\}$ dans $\bar{\R}$, ce que l'on note :

$f(x)=\inf_{y\in \mathbb{F}}\varphi(x,y).$

Notations

On note

• $\operatorname{dom}\,f:=\{x\in\mathbb{E}:f(x)<+\infty\}$ le domaine (effectif) d'une fonction $f:\mathbb{E}\to\R\cup\{\pm\infty\}$, définie sur un ensemble $\mathbb{E}$,
• $\operatorname{Conv}(\mathbb{E})$ l'ensemble des fonctions définies sur un espace vectoriel $\mathbb{E}$ qui sont convexes (i.e., leur épigraphe est convexe) et propres (i.e., elles ne prennent pas la valeur $-\infty$ et ne sont pas identiquement égales à $+\infty$),
• $\operatorname{C\overline{onv}}(\mathbb{E})$, où $\mathbb{E}$ est un espace vectoriel topologique, la partie de $\operatorname{Conv}(\mathbb{E})$ formée des fonctions qui sont aussi fermées (i.e., leur épigraphe est fermé),
• $\operatorname{int}\,P$ l'intérieur d'une partie P d'un espace vectoriel topologique $\mathbb{E}$ et $\operatorname{intr}\,P$ son intérieur relatif.

Convexité

On suppose dans cette section que $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ sont des espaces vectoriels.

Convexité d'une fonction marginale — Dans le cadre précisé ci-dessus :

• f est convexe, si φ est convexe,
• $f\in\operatorname{Conv}(\mathbb{E})$, si $\varphi\in\operatorname{Conv}(\mathbb{E}\times \mathbb{F})$ et si f ne prend pas la valeur $-\infty$.

La fonction marginale est une enveloppe inférieure de fonctions convexes $x\mapsto\varphi(x,y)$, paramétrées par $y\in \mathbb{F}$. On pourrait donc, à juste titre, s'étonner de sa convexité. C'est évidemment la convexité conjointe sur $\mathbb{E}\times \mathbb{F}$ qui permet d'avoir cette propriété.

Sous-différentiel

On suppose ici que, dans la définition de la fonction marginale, $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ sont deux espaces euclidiens. On munit l'espace produit $\mathbb{E}\times\mathbb{F}$ d'une structure euclidienne en y définissant le produit scalaire

$((x,y),(x',y'))\in(\mathbb{E}\times\mathbb{F})^2\mapsto \langle (x,y),(x',y')\rangle := \langle x,x'\rangle+\langle y,y'\rangle.$

Le sous-différentiel de f dépend de celui de φ qui est supposé calculé pour ce produit scalaire.

Sous-différentiel d'une fonction marginale — Dans le cadre défini ci-dessus, supposons que $\varphi\in\operatorname{Conv}(\mathbb{E}\times \mathbb{F})$ et que sa fonction marginale $f\in\operatorname{Conv}(\mathbb{E})$. Si $x\in \mathbb{E}$ et f(x) = φ(x,y) (l'infimum est atteint en $y\in \mathbb{F}$), alors

$\partial f(x)=\{s:(s,0)\in\partial \varphi(x,y)\}.$

Ce résultat appelle quelques remarques.

1. Il faut bien noter que, si la borne inférieure $\inf\{\varphi(x,y):y\in\mathbb{F}\}$ est atteinte en plusieurs y, $\{s:(s,0)\in\partial \varphi(x,y)\}$ ne dépend pas du minimiseur y choisi.
   
   On a un autre éclairage sur cette indépendance par rapport à y en observant que φ est constante sur l'ensemble M(x): = {(x,y): y minimise $\varphi(x,\cdot)\}$, si bien que $\partial\varphi$ est aussi constant sur l'intérieur relatif de M(x). Cependant $\partial\varphi(x,y)$ peut varier lorsque (x,y) passe de l'intérieur relatif de M(x) à son bord. C'est le cas de la fonction définie par φ(x,y) = max(0, | y | − 1), dont la fonction marginale est nulle :
   
   $M(x)=\{x\}\times[-1,1]\quad\mbox{et}\quad\partial \varphi(0,y)=\left\{\begin{array}{ll}\{(0,0)\} & \mbox{si}~-1<y<1\\\{0\}\times[0,1] & \mbox{si}~y=1.\end{array}\right.$
   
2. D'autre part, si φ est différentiable en (x,y), où y est un minimiseur quelconque de $\varphi(x,\cdot)$, alors f est également différentiable en x (car son sous-différentiel est un singleton) et on a
   
   $\nabla f(x)=\nabla_x\varphi(x,y).$
   C'est comme s'il y avait un minimiseur unique y(x), fonction différentiable de x, que l'on écrivait f(x) = φ(x,y(x)) et que l'on calculait $\nabla f(x)$ par une dérivation en chaîne :
   
   $\nabla f(x)=\nabla_x\varphi(x,y)+y'(x)^*\nabla_y\varphi(x,y).$
   On retrouverait le résultat ci-dessus en observant que $\nabla_y\varphi(x,y)=0$ car y minimise $\varphi(x,\cdot)$.
3. Le fait que $\varphi(x,\cdot)$ ait un minimum unique n'implique nullement la différentiabilité de la fonction marginale en x. Par exemple, f est la fonction marginale de φ définie par φ(x,y) = f(x) + y². Cette dernière a un minimum y = 0 unique en y quel que soit x, alors que f peut ne pas être différentiable.

Bibliographie

• (en) J.M. Borwein, A.S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
• (en) J.-B. Hiriart-Urruty, Cl. Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
• (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.