Fonction propre (analyse convexe)

 Pour les notions de fonction propre en analyse spectrale et en topologie, voir respectivement Fonction propre et Application propre (en)

En analyse convexe (une branche des mathématiques), on qualifie de propre une fonction à valeurs dans la droite réelle achevée pouvant prendre la valeur $+\infty$, mais non identiquement égale à cette valeur, et ne prenant pas la valeur $-\infty$.

Définitions

En analyse convexe, une fonction définie sur un espace vectoriel $\mathbb{E}$ à valeurs dans la droite réelle achevée $\bar{\R}:=\R\cup\{-\infty,+\infty\}$ est dite propre si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

1. elle ne prend pas la valeur $-\infty$ et elle n'est pas identiquement égale à $+\infty$ ;
2. elle ne prend pas la valeur $-\infty$ et son domaine effectif est non vide ;
3. son épigraphe est non vide et ne contient pas de droite verticale.

Elle est dite impropre dans le cas contraire.

En analyse convexe, il est utile de pouvoir considérer des fonctions pouvant prendre des valeurs infinies, car certaines fonctions sont le résultat de constructions qui n'assurent pas a priori la finitude des valeurs qu'elles prennent. Les fonctions convexes prenant la valeur $-\infty$ sont très particulières et en général indésirables. Il est cependant souvent préférable de les admettre plutôt que de les exclure par des hypothèses laborieuses obscurcissant les énoncés.

Certains auteurs^[1] notent

$\operatorname{Conv}(\mathbb{E})$

l'ensemble des fonctions convexes propres définies sur un espace vectoriel $\mathbb{E}$. Ce n'est pas un espace vectoriel (la différence de deux fonctions convexes n'est généralement pas convexe et la somme de deux fonctions convexes propres n'est pas nécessairement propre).

Propriété

Si $\mathbb{E}$ est de dimension finie, on peut le munir d'un produit scalaire, noté $\langle\cdot,\cdot\rangle$, qui en fait un espace euclidien.

Existence d'une minorante affine — Soit $\mathbb{E}$ un espace euclidien. Alors une fonction $f\in\operatorname{Conv}(\mathbb{E})$ a une minorante affine : il existe $\alpha\in\R$ et $s\in\mathbb{E}$ tels que

$\forall\,x\in\mathbb{E}:\qquad f(x)\geqslant\alpha+\langle s,x\rangle.$

Cette minorante affine peut être choisie exacte en un point donné de l'intérieur relatif du domaine de f : pour tout $x_0\in\operatorname{intr}\,(\operatorname{dom}\,f)$, il existe $s_0\in\mathbb{E}$, parallèle à $\operatorname{aff}\,(\operatorname{dom}\,f)$ tel que

$\forall\,x\in\mathbb{E}:\qquad f(x)\geqslant f(x_0)+\langle s_0,x-x_0\rangle.$

La seconde partie de ce résultat revient à dire qu'une fonction convexe propre est sous-différentiable sur l'intérieur relatif de son domaine.

Annexes

Note

1. ↑ Voir Hiriart-Urruty et Lemaréchal (2001).

Bibliographie

• (en) J. M. Borwein (en) et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, New York, Springer, 2000 .
• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2001 (ISBN 3-540-42205-6) .
• (en) R.T. Rockafellar (en), Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematics Ser. » (n^o 28), 1970 .