Fonctions de Lamé

En physique mathématique, Gabriel Lamé étudie l'équilibre des températures dans les corps homogènes de forme ellipsoïdale et découvre en 1837 une équation différentielle, dont les solutions seront appelées les "fonctions de Lamé ". Mais Jacobi en 1839 a découvert ces fonctions indépendamment. La théorie de ces fonctions a ensuite été élaborée par Joseph Liouville et Eduard Heine. L'équation différentielle linéaire de Lamé peut se réécrire (forme d'Hermite) :

• $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2(t) \cdot x = 0$, avec
• $\omega^2(t) = \omega_o^2 -n(n+1)k^2 \cdot sn^2(t,k)$.

Où sn(t,k) est la fonction sinus elliptique de Jacobi.

La forme originale de Lamé est :

• $(x^4-qx^2 +p) \frac{d^2y}{dx^2} + (2x^3-qx)\frac{dy}{dx} + (\lambda -n(n+1)x^2)y = 0$

Les solutions sont appelées les fonctions de Lamé.

Plus tard, Poincaré dégagera le concept de fonction fuchsienne (en) (ou fonction de Fuchs) et en 1894, Felix Klein et Maxime Bôcher (en) feront une équation de Lamé « généralisée », équation différentielle linéaire à coefficients variables, à 5 singularités (dont l'une est l'infini).

Bibliographie

Articles

• G. Lamé, « Sur les surfaces isothermes dans les corps solides homogènes en équilibre de température », dans J. Math. Pures et App., vol. 2, 1837, p. 147 
• G. Lamé, « Sur l'équilibre des températures dans un ellipsoïde à trois axes inégaux », dans J. Math. Pures et App., vol. 4, 1839, p. 126
• G. Lamé, Sur l'équilibre des températures dans les corps solides homogènes de forme ellipsoïdale, concernant particulièrement les ellipsoïdes de révolution, dans J. Math. Pures et App., vol. 4, 1839, p. 351
• G. Lamé, Note sur la méthodes de recherche des surfaces isothermes, dans J. Math. Pures et App., vol. 8, 1843, p. 515
• (de) C. G. J. Jacobi, « Note von der geodätischen Linie auf einem Ellipsoid und den verschiedenen Anwendungen einer merkwürdigen analytischen Substitution », dans J. Reine Angew. Math., vol. 19, 1839, p. 309 

Livres

• Charles Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques, Paris, Gauthier-Villars, 1885
• Gabriel Lamé, Leçons sur les fonctions inverses des transcendantes et les surfaces isothermes, Paris, Mallet-Bachelier, 1857
• (en) Isaac Todhunter, An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions, Londres, MacMillan, 1875, chap. XXVI, p. 232
• Georges Henri Halphen, Traité des fonctions elliptiques t. 2, Paris, Gauthier-Villars, 1886-1891, chap. XII, p. 457
• Albert Wangerin, « Fonctions Sphériques », dans Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Tome II. Cinquième volume, J. Molk (éd.), Paris, Gauthier-Villars, 1912, p. 198 et suivantes
• Pierre Humbert, Fonctions de Lamé et fonctions de Mathieu, coll. Mémorial des sciences mathématiques, n° 10, Paris, Gauthier-Villars, 1926