Forme sesquilinéaire complexe

Cet article concerne un cadre élémentaire. Pour un cadre général, voir Forme sesquilinéaire et Forme hermitienne.

En algèbre, une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe E est une application de E × E dans $\mathbb C$, linéaire selon l'une des variables et semi-linéaire par rapport à l'autre variable. Elle possède donc une propriété de « un-et-demi » linéarité (cf. sesqui). C'est l'équivalent complexe des formes bilinéaires réelles.

Les formes sesquilinéaires les plus étudiées sont les formes hermitiennes qui correspondent aux formes bilinéaires (réelles) symétriques. Parmi celles-ci, les formes hermitiennes définies positives permettent de munir E d'un produit scalaire et ouvrent à l'étude des espaces hermitiens, des espaces préhilbertiens complexes et des espaces de Hilbert.

Définitions et conventions

Forme semi-linéaire

Soit E un $\mathbb C$-espace vectoriel, une application φ de E dans $\mathbb C$ est semi-linéaire^[1] (ou antilinéaire) si :

Elle respecte l'addition et presque la multiplication scalaire : pour tous x, y de E, pour tout λ de $\mathbb C$ : $\varphi (x + \lambda y) = \varphi(x) + \bar \lambda \varphi(y)\,$ où $\overline{\lambda}$ est le conjugué de λ

Une application semi-linéaire vérifie : f(ix) = − if(x), ce qui justifie l'autre terme utilisé : application anti-linéaire.

Forme sesquilinéaire (à gauche)

Les conventions qui suivent imposent un choix de l'argument qui est linéaire. Le choix ci-dessous (forme sesquilinéaire à gauche : première variable semi-linéaire, deuxième variable linéaire) est utilisé par tous les physiciens^[2], ceci étant dû à l'origine à l'utilisation de la notation bra-ket (peut-être pas universel), mais le choix opposé est courant en mathématiques^[3] depuis les années 1950.

Une application f de E × F → $\mathbb C$ est une forme sesquilinéaire (à gauche) si :

a) Elle est linéaire à droite : pour tout x de E, y, y' de F, pour tout λ de $\mathbb C$ : $f(x,y+\lambda y') = f(x,y) + \lambda f(x,y')\,$

b) Elle est semi-linéaire à gauche, ce qui signifie que pour tout x, x' de E et y de F, pour tout λ de $\mathbb C$ : $f(x+ \lambda x',y) = f(x,y) + \overline{\lambda} f(x',y)$.

Les formes sesquilinéaires (à gauche) constituent un sous-espace vectoriel complexe de l'espace des applications de E x F dans C.

Formes hermitiennes

Forme hermitienne à gauche (resp. à droite) : c'est une forme sesquilinéaire à gauche (resp. à droite, suivant la convention choisie) sur E x E qui vérifie la propriété de symétrie hermitienne :

c) Pour tous x et y de E, $f(y,x) = \overline{f(x,y)}$

En particulier : $f(x,x) = \overline{f(x,x)}$, donc f(x,x) est un réel.

Réciproquement, une forme sesquilinéaire pour laquelle f(x,x) est réel pour tout vecteur x est nécessairement hermitienne^[4].

Les formes hermitiennes (à gauche) constituent un espace vectoriel réel.

Forme hermitienne positive : c'est une forme hermitienne telle que :

d) pour tout x de E, $f(x,x) \ge 0$

Forme hermitienne définie : c'est une forme hermitienne telle que

e) pour tout x de E, $f(x,x) = 0\,$ implique $x = 0\,$

Forme hermitienne non dégénérée : c'est une forme hermitienne telle que :

f) pour tout x de E, si pour tout y de E, $f(x,y)=0\,$, alors $x = 0\,$

Toute forme hermitienne définie est donc non dégénérée. Pour une forme hermitienne positive, la réciproque est vraie grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz : toute forme hermitienne positive non dégénérée est définie.

Une forme hermitienne définie positive (ou positive non dégénérée) est encore appelée produit scalaire (sous-entendu au sens complexe).

Exemples

• En dimension finie, on prouve que les seules formes sesquilinéaires à gauche sont les applications définies dans une base par :

$f(x,y) =^t \overline X AY$

où X et Y sont les vecteurs colonnes, coordonnées de x et y dans la base (e₁,...,e_n), et où A est la matrice définie par $a_{i,j} = f(e_i,e_j)\,$.

L'espace vectoriel complexe des formes sesquilinéaires (à gauche) sur un espace vectoriel de dimension n est donc isomorphe à l'espace vectoriel des matrices carrées $n \times n$. Les formes sesquilinéaires hermitiennes correspondent aux matrices telles que ${}^t\bar{A}=A$.

• Soit B un ensemble non vide et $\mathbb C^B$ le $\mathbb C$-espace vectoriel des applications de B dans $\mathbb C$, et soient a et b deux éléments de B. La forme f_a,b définie par $f_{a,b}(x,y) =\overline{ x(a)}y(b)$ est une forme sesquilinéaire (à gauche) à symétrie hermitienne.

Notes et références

1. ↑ N. Bourbaki, Algèbre, II, p. 32
2. ↑ C'est aussi le choix des programmes officiels d'enseignement en France
3. ↑ Bourbaki qui a introduit le terme applications sesquilinéaires dans Algèbre, chapitre IX, page 10 parle de forme sesquilinéaire à droite et dans EVT, chapitre V, page 1 choisit ses formes hermitiennes sesquilinéaires à gauche.
4. ↑ Bourbaki, EVT, chapitre V, page 2, remarque.

Articles connexes

• produit scalaire
• Hermitien
• Espace de Hilbert
• Espace préhilbertien
• Identité de polarisation