Formule de Cauchy pour l'intégration successive

La formule de Cauchy pour l'intégration successive, énoncée par Augustin Louis Cauchy, permet de condenser n intégrations en une seule. Elle est notamment utilisée en analyse fractionnaire.

Cas scalaire

Soit ƒ une fonction réelle continue. La nième primitive de ƒ est :

$f^{[n]}(x) = \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_{n}) \, \mathrm d\sigma_{n} \cdots \, \mathrm d\sigma_2 \, \mathrm d\sigma_1,$

La version condensée en une seule intégrale est :

$f^{[n]}(x) = \frac1{(n-1)!} \int_a^x\left(x-y\right)^{n-1} f(y)\,\mathrm dy.$

Une preuve peut être donnée par récurrence. Puisque ƒ est continue, l'initialisation est évidente :

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f^{[1]}(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^x f(y)\,\mathrm dy = f(x).$

Quelques calculs nous amènent à :

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f^{[n]}(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac1{(n-1)!} \int_a^x \left(x-y\right)^{n-1} f(y) \, \mathrm dy = f^{[n-1]}(x).$

Donc ƒ^[n](x) est bien la nième primitive de ƒ.

Référence

(en) Gerald Folland (en), Advanced Calculus, Prentice Hall, 2002 (ISBN 978-0-13-065265-2), p. 193 

Voir aussi

Article connexe

• Analyse fractionnaire

Lien externe

(en) Alan Beardon, « Fractional calculus II », université de Cambridge, 2000