Formule de Faà di Bruno

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la formule de Faà di Bruno est une identité généralisant la règle de dérivation des fonctions composées au cas des dérivées d'ordre supérieur. Elle a été le plus souvent attribué au mathématicien italien Francesco Faà di Bruno (vers 1855)^[1].

La formule de dérivation de Faà di Bruno

La forme la plus connue de cette formule est sans doute

${d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}} f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j},$

où la somme parcourt tous les n-uples (m₁, ..., m_n) vérifiant la contrainte  : $1m_1+2m_2+3m_3+\cdots+nm_n=n.\,$

Pour pouvoir la retenir plus facilement, on l'énonce parfois

${d^n \over dx^n} f(g(x)) =\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!} f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j},$

mais sous cette forme, l'interprétation combinatoire des coefficients discutée plus bas est plus difficile à percevoir.

Combinant les termes correspondants à la même valeur de m₁ + m₂ + ... + m_n = k et remarquant que m _j doit être nul pour j > n − k + 1, on arrive à une autre formule un peu plus simple, exprimée en fonction des polynômes de Bell B_n,k(x₁,...,x_n−k+1) :

${d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).$

Forme combinatoire

La formule peut s'écrire sous la forme « combinatoire » suivante :

${d^n \over dx^n} f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(g(x))\cdot\prod_{B\in\pi}g^{(\left|B\right|)}(x),$ où

• π parcourt l'ensemble Π de toutes les partitions de l'ensemble { 1, ..., n },

• « B ∈ π » signifie que la variable B parcourt la liste de tous les blocs de la partition π, et

• |A| désigne le cardinal de l'ensemble A (et donc |π| est le nombre de blocs de la partition π, et |B| est la taille du bloc B).

Explication sur un exemple

La forme combinatoire peut sembler inutilisable au premier abord, aussi nous allons montrer sur un cas concret à quoi elle ressemble :

$\begin{align} (f\circ g)''''(x) & = f''''(g(x))g'(x)^4 + 6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^2 \\ & {} \quad+\; 3f''(g(x))g''(x)^2 + 4f''(g(x))g'''(x)g'(x) \\ & {} \quad+\; f'(g(x))g''''(x). \end{align}$

Quelle est la règle ?

$\begin{align} g'(x)^4 & & \leftrightarrow & & 1+1+1+1 & & \leftrightarrow & & f''''(g(x)) & & \leftrightarrow & & 1 \\ \\ g''(x)g'(x)^2 & & \leftrightarrow & & 2+1+1 & & \leftrightarrow & & f'''(g(x)) & & \leftrightarrow & & 6 \\ \\ g''(x)^2 & & \leftrightarrow & & 2+2 & & \leftrightarrow & & f''(g(x)) & & \leftrightarrow & & 3 \\ \\ g'''(x)g'(x) & & \leftrightarrow & & 3+1 & & \leftrightarrow & & f''(g(x)) & & \leftrightarrow & & 4 \\ \\ g''''(x) & & \leftrightarrow & & 4 & & \leftrightarrow & & f'(g(x)) & & \leftrightarrow & & 1 \end{align}$

Le facteur $\scriptstyle g''(x)g'(x)^2 \;$, par exemple, correspond à la partition 2 + 1 + 1 de l'entier 4 (puisque nous cherchons la dérivée d'ordre 4), et le facteur $\scriptstyle f'''(g(x))\;$ qui l'accompagne venant de ce qu'il y a trois termes dans cette partition ; enfin, le coefficient 6 résulte de ce qu'il y a exactement 6 partitions d'un ensemble à 4 éléments de la forme "un sous-ensemble à deux éléments et deux singletons".

La combinatoire des coefficients de la formule

Les coefficients de Faà di Bruno correspondant à ces comptes de partitions ont une forme explicite ; en effet, le nombre de partitions d'un entier n correspondant à la somme (la partition entière)

$\displaystyle n=\underbrace{1+\cdots+1}_{m_1} \,+\, \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2} \,+\, \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3}+\cdots$

est égal à

$\frac{n!}{m_1!\,m_2!\,m_3!\,\cdots 1!^{m_1}\,2!^{m_2}\,3!^{m_3}\,\cdots}.$

Ces coefficients apparaissent aussi dans les polynômes de Bell, utilisés dans l'étude des cumulants.

Deux cas particulier

Si f(x) = e^x, alors toutes les dérivées de f sont les mêmes, et sont facteur commun de tous les termes de la formule. Quand g(x) est une fonction génératrice de cumulants, f(g(x)) est une fonction génératrice de moments, et le polynôme en les dérivées de g est le polynôme exprimant les moments en fonction des cumulants. Prenant g(x) = − x², on retrouve aussi de cette manière les polynômes d'Hermite.

Si g(x)=1/x, on a g⁽ⁿ⁾(x) = ( − 1)ⁿn! / x^{n + 1} ; on en déduit^[2] la formule suivante pour la dérivée n-ème de 1/f :

$(1/f)^{(n)}(x)=\frac{n!}{f^{n+1}(x)}\sum\frac{(-1)^{n-m_0}(n-m_0)!}{\displaystyle\prod_{i=1}^n(i!)^{m_i}\;m_i!}\prod_{i=1} ^n\left(f^{(i)}(x)\right)^{m_i}$

avec la même convention que précédemment pour les m_i : $n=m_0+m_1+\dots+m_n=m_1+2m_2+\dots+nm_n$.

Une version à plusieurs variables

Soit y =g(x₁, ..., x_n). Alors l'identité suivante est vraie, que les n variables soient distinctes, ou identiques, ou partitionnées en classes de variables indiscernables (l'exemple concret ci-dessous devrait rendre cela clair) :

${\partial^n \over \partial x_1 \cdots \partial x_n}f(y) = \sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(y)\cdot\prod_{B\in\pi} {\partial^{\left|B\right|}y \over \prod_{j\in B} \partial x_j},$^[3]

où, comme précédemment, π parcourt l'ensemble Π de toutes les partitions de { 1, ..., n }, B ∈ π" signifie que B parcourt les blocs de la partition π, et |A| est le cardinal de l'ensemble A. Une généralisation supplémentaire, correspondant au cas où Y est une variable vectorielle, est due à Tsoy-Wo Ma^[4].

Exemple

Les cinq termes de l'expression suivante correspondent aux cinq partitions de l'ensemble { 1, 2, 3 }, et dans chaque cas l'ordre de la dérivée de f est le nombre de sous-ensembles de la partition :

${\partial^3 \over \partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3}f(y) = f'(y){\partial^3 y \over \partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3}$

${} + f''(y) \left( {\partial y \over \partial x_1} \cdot{\partial^2 y \over \partial x_2\, \partial x_3} +{\partial y \over \partial x_2} \cdot{\partial^2 y \over \partial x_1\, \partial x_3} + {\partial y \over \partial x_3} \cdot{\partial^2 y \over \partial x_1\, \partial x_2}\right)$

${} + f'''(y) {\partial y \over \partial x_1} \cdot{\partial y \over \partial x_2} \cdot{\partial y \over \partial x_3}.$

Si les trois variables sont identiques, les trois termes facteurs de f"(y) le sont aussi, et l'on retrouve alors la formule classique à une seule variable.

Une version concernant les séries formelles

Dans la série formelle $f(x)=\sum_n {a_n \over n!}x^n$, la n-ème dérivée en 0 est donnée par : $f^{(n)}(0)=a_n \;$ (il ne faut pas considérer ce nombre comme la valeur d'une fonction, puisque ces séries sont purement formelles  ; on ne parle pas de convergence vers une fonction dans ce contexte).

Si $g(x)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n$ et $f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n$ et $g(f(x))=h(x)=\sum_{n=1}^\infty{c_n \over n!}x^n,$ alors le coefficient c_n (qui serait la dérivée n-ème de h en 0 si nous parlions de séries convergentes plutôt que de séries formelles) est donné par

$c_n=\sum_{\pi=\left\{\,B_1,\,\dots,\,B_k\,\right\}}a_{\left|B_1\right|}\cdots a_{\left|B_k\right|} b_k,$

(avec les mêmes conventions que précédemment : π parcourt l'ensemble des partitions de l'ensemble { 1, ..., n }, B₁, ..., B_k sont les blocs de la partition π, et | B_j | est le nombre d'éléments du j-ème bloc, pour j = 1, ..., k). Cette version de la formule est particulièrement bien adaptée aux méthodes de l'analyse combinatoire^[5].

Nous pouvons également l'écrire  :

$g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} x^n,$ où les B_n,k(a₁,...,a_n−k+1) sont des polynômes de Bell.

Notes et références

Notes

1. ↑ On trouvera des références plus précises dans cet historique de la formule(en)
2. ↑ Formule de Faà di Bruno
3. ↑ Hardy, Michael, « Combinatorics of Partial Derivatives », dans Electronic Journal of Combinatorics, vol. 13, 2006, p. R1 [texte intégral]  (en)
4. ↑ Ma, Tsoy Wo, « Higher Chain Formula proved by Combinatorics », dans Electronic Journal of Combinatorics, vol. 16, 2009, p. N21 [texte intégral]  (en)
5. ↑ Voir la "formule de composition" dans le chapitre 5 de (en) Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Cambridge, Cambridge University Press, 1997, 1999, 7^e éd., relié (ISBN 978-0-521-55309-4) (LCCN 96044267) [lire en ligne]  (en)

Voir aussi

• Calcul symbolique

Liens externes

• Une démonstration (par récurrence) de la formule.
• (en) Une histoire de la formule de Faà di Bruno
• (en) La formule sur le site de MathWorld

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• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Faà di Bruno's formula » (voir la liste des auteurs)