Graphe de McGee

Graphe de McGee
Représentation du graphe de McGee.
Nombre de sommets	24
Nombre d'arêtes	36
Distribution des degrés	3-régulier
Rayon	4
Diamètre	4
Maille	7
Automorphismes	32
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	3
Propriétés	Régulier Cage Hamiltonien
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Le graphe de McGee est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 24 sommets et 36 arêtes.

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe de McGee, l'excentricité maximale de ses sommets, est 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 4 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 7. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Le graphe de McGee n'est pas planaire. En fait pour le dessiner sur un plan il faut nécessairement que plusieurs arêtes se croisent. Il est possible de le dessiner avec seulement 8 croisements et ce nombre est minimal^[1]. Avec ses 24 sommets, il est le plus petit graphe cubique nécessitant 8 croisements pour être dessiné sur le plan^[2].

Coloriage

Le nombre chromatique du graphe de McGee est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de McGee est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe de McGee est un groupe d'ordre 32. Il n'agit pas transitivement sur l'ensemble des sommets du graphe mais forme deux orbites, l'une de longueur 8 et l'autre de longueur 16. Le graphe de graphe de McGee est la plus petite cage cubique à ne pas être un graphe sommet-transitif^[3].

Le polynôme caractéristique du graphe de McGee est : (x − 3)(x − 2)³x³(x + 1)²(x + 2)(x² + x − 4)(x³ + x² − 4x − 2)⁴.

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes
• Cage (théorie des graphes)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, McGee Graph (MathWorld)

Références

1. ↑ (en) Weisstein, Eric W. "Graph Crossing Number" From MathWorld--A Wolfram Web Resource
2. ↑ (en) Pegg, E. T. and Exoo, G. "Crossing Number Graphs." Mathematica J. 11, 2009
3. ↑ Bondy, J. A. and Murty, U. S. R. Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 237, 1976.