Graphe taureau

Graphe taureau
Représentation du graphe taureau.
Nombre de sommets	5
Nombre d'arêtes	5
Distribution des degrés	1 (2 sommets) 2 (1 sommet) 3 (2 sommets)
Rayon	2
Diamètre	3
Maille	3
Automorphismes	2 (Z/2Z)
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	3
Propriétés	Parfait Planaire Distance-unité
modifier

Le graphe taureau est, en théorie des graphes, un graphe possédant 5 sommets et 5 arêtes. Il peut être construit en ajoutant deux sommets au graphe cycle C₃ (le triangle) et en les reliant directement à deux sommets distincts de C₃.

Le nom de graphe taureau est employé au sein de la classification de l'ISGCI (Information System on Graph Class Inclusions)^[1].

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe taureau, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 1-sommet-connexe et d'un graphe 1-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 1 sommet ou de 1 arête.

Il est possible de tracer le graphe taureau sur un plan sans qu'aucune de ses arêtes se croisent. Le graphe taureau est donc planaire. C'est également un graphe distance-unité : il peut s'obtenant à partir d'une collection de points du plan euclidien en reliant par une arête toutes les paires de points étant à une distance de 1.

Coloriage

Les 3 graphes avec un polynôme chromatique égal à
(x − 2)(x − 1)³x

Le nombre chromatique du graphe taureau est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe taureau est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3 et est de degrés 5. Il est égal à : (x − 2)(x − 1)³x.

Il existe 2 graphes étant chromatiquement équivalent au graphe taureau, c'est-à-dire ayant le même polynôme chromatique. L'un d'eux est le graphe criquet.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe taureau est un groupe abélien d'ordre 2 : le groupe cyclique Z/2Z.

Le polynôme caractéristique du graphe taureau est : − x(x² − x − 3)(x² + x − 1).

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Bull Graph (MathWorld)

Références

1. ↑ (en) ISGCI (Information System on Graph Class Inclusions), List of small graphs (http://wwwteo.informatik.uni-rostock.de/isgci/smallgraphs.html).