Point rationnel

En géométrie algébrique, les points rationnels d'une variété algébrique X définie sur un corps k sont, lorsque X est définie par un système d'équations polynomiales, les solutions dans k de ce système.

Définition formelle

Soit X une variété algébrique définie sur un corps k. Un point $x\in X$ est appelé un point rationnel si le corps résiduel k(x) de X en x est égal à k. Cela revient à dire que les coordonnées du point x dans une carte locale affine appartiennent toutes à k. Lorsque la variété algébrique est déduite d'un système d'équations polynômiales homogène ou affine, les points rationnels correspondent aux solutions du système dans k.

L'ensemble des points rationnels de X est noté X(k).

Sur un corps de base algébriquement clos, tous les points (fermés) sont rationnels. Dans le cas contraire, X(k) peut très bien être vide sans que X le soit.

Quelques exemples

Une partie importante de la géométrie arithmétique concerne l'étude des points rationnels des variétés algébriques définies sur un corps de nombres.

• Si X est la courbe algébrique projective définie par l'équation x^p + y^p + z^p = 0 dans $\Q$, où p est un nombre premier > 2, les points rationnels $X({\Q})$ correspondent aux solutions homogènes de l'équation de Fermat d'exposant p. Le point (1: − 1:0) est un point rationnel (sur $\Q$), par contre le point ( − 1:ξ_p:0) où $\xi_p=e^{2i\pi/p}\in \C$ est une racine primitive p-ième de l'unité, n'est pas rationnel.

• La courbe affine x² + y² + 1 = 0 sur $\R$ n'a pas de points rationnels.

• L'ensemble des points rationnels d'un espace affine $\mathbb A^n_K$ s'identifie à Kⁿ. De même l'ensemble des points rationnels d'un espace projectif $\mathbb P^n_K$ (comme variété algébrique) s'identifie à l'espace projectif $(K^{n+1} \setminus \{ 0 \})/K^*$.

• La conjecture de Mordell, démontrée par Gerd Faltings, dit que pour toute courbe projective non-singulière de genre au moins deux, définie sur un corps de nombres, admet au plus un nombre fini de points rationnels.

• Le théorème de Mordell-Weil (en), généralisé par Lang et Néron^[1],[2], dit que pour toute variété abélienne A sur un corps K de type fini sur $\Q$ ou un corps fini, l'ensemble des points rationnels A(K) est un groupe abélien de type fini.

Voir aussi

§ "Points rationnels" de l'article : Variété algébrique

Notes

1. ↑ (en) Serge Lang et André Néron, Rational points of abelian varieties over function fields, Amer. J. Math. 81 (1959), 95–118
2. ↑ (en) Brian Conrad (en), Chow's K/k-image and K/k-trace, and the Lang-Néron theorem, Enseign. Math. 52 (2006), 37–108 [lire en ligne]