Intégration de Verlet

L'intégration de Verlet est un schéma d'intégration qui permet de calculer la trajectoire de particules en simulation dynamique moléculaire. Cette méthode offre une meilleure stabilité que la plus simple méthode d'Euler, de même que d'importantes propriétés dans les systèmes physiques, telles que réversibilité dans le temps et la conservation de propriété. A première vue, il peut sembler naturel de calculer les trajectoires en utilisant la méthode d'Euler. Cependant, ce type d'intégration souffre de nombreux problèmes. La stabilité de cette technique dépend assez lourdement d'une fréquence de mise à jour uniforme, ou de la capacité d'identifier précisément les positions passées à un très petit pas de temps précédent. La méthode a été développée par le physicien français Loup Verlet en 1967.

Intégration élémentaire de Verlet

L'algorithme de Verlet [1] réduit le taux d'erreurs introduites par l'intégration en calculant la position au pas de temps suivant à partir des positions courante et précédente, sans faire appel à la vitesse. En utilisant deux développements de Taylor de la position $\vec{x}(t)$ à deux instants distincts.

$\vec{x}(t + \Delta t) = \vec{x}(t) + \vec{v}(t)\Delta t + \frac{\vec{a}(t) \Delta t^2}{2} + \frac{\vec{b}(t) \Delta t^3}{6} + O(\Delta t^4)\,$

$\vec{x}(t - \Delta t) = \vec{x}(t) - \vec{v}(t)\Delta t + \frac{\vec{a}(t) \Delta t^2}{2} - \frac{\vec{b}(t) \Delta t^3}{6} + O(\Delta t^4).\,$

Où $\vec{x}$ est la position, $\vec{v}$ la vitesse, $\vec{a}$ l'accélération et $\vec{b}$ le jerk (secousse, dérivée troisième de la position par rapport au temps) t. En ajoutant ces deux équations, on obtient

$\vec{x}(t + \Delta t) = 2\vec{x}(t) - \vec{x}(t - \Delta t) + \vec{a}(t) \Delta t^2 + O(\Delta t^4).\,$

Cette opération offre l'avantage que les dérivées de premier et troisième ordre s'annulent, rendant l'intégration de Verlet d'un ordre plus précis qu'un simple développement de Taylor.