Inégalité de Tchebychev pour les sommes

L’inégalité de Tchebychev pour les sommes est due à Pafnouti Tchebychev. Elle est un cas particulier de l'inégalité FKG^[1] et de l'inégalité de Harris. Elle ne doit pas être confondue avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Énoncé

Inégalité de Tchebychev pour les sommes — Si $\scriptstyle\ a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\$ et $\scriptstyle\ b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,\$ alors

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

De même, si $\scriptstyle\ a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\$ et $\scriptstyle\ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,\$ alors

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Démonstration

Par suite de la décroissance des suites $\scriptstyle\ (a_k)_{1\le k\le n} \$ et $\scriptstyle\ (b_k)_{1\le k\le n}, \$ on peut écrire :

$\forall i,j,\quad (a_i-a_j)(b_i-b_j)\geq 0.$

En sommant selon i, on obtient donc :

$\forall j,\quad \sum_{i=1}^na_ib_i -a_j\sum_ib_i-b_j\sum_ia_i+na_jb_j\geq 0.$

Puis, en sommant cette fois selon j, on obtient :

$n \sum_{i=1}^na_ib_i-\sum_{j=1}^na_j\sum_{i=1}^nb_i-\sum_{j=1}^nb_j\sum_{i=1}^na_i+n\sum_{j=1}^na_jb_j\geq 0,$

d'où l'inégalité demandée.

Plus généralement, l'inégalité vaut pour des suites monotones, mais le sens des inégalités change lorsque les suites concernées ont des sens de monotonie opposés.

Version continue : inégalité de corrélation

Il existe une version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes :

Théorème —  Si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, intégrables sur [0,1], toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), alors

$\int_{0}^1 fg \geq \int_{0}^1 f \times\int_{0}^1 g.\,$

Une version plus générale est la suivante :

Inégalité de corrélation —  Pour toute variable aléatoire réelle X, si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), telles que f(X) et g(X) soient de carré intégrables sur [0,1], alors

$\text{Cov}\left(f(X),\,g(X)\right) \geq0,\,$

ou bien, de manière équivalente,

$\mathbb{E}\left[f(X)g(X)\right] \geq \mathbb{E}\left[f(X)\right] \mathbb{E}\left[g(X)\right].\,$

• L'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de l'inégalité de corrélation par application du théorème de transfert pour les variables aléatoires réelles : il suffit de choisir, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme discrète sur $\scriptstyle\ [\![1,n]\!],\$ puis de poser f(i)=a_i et g(i)=b_i .
• La version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de de l'inégalité de corrélation de manière analogue, en choisissant, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme continue sur [0,1].
• La démonstration de l'inégalité de corrélation est analogue à la démonstration de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, telle que donnée dans cette page : cette démonstration figure, comme premier pas de la démonstration de l'inégalité FKG, sur la page correspondante.

Voir aussi

Pages liées

• Inégalité de Harris
• Inégalité FKG
• Pafnouti Tchebychev

Bibliographie

1. ↑ (en) C. M. Fortuin, P. W. Kasteleyn et J. Ginibre, « Correlation inequalities on some partially ordered sets », dans ["Communications in Mathematical Physics"], vol. 22, 1971, p. 89-103 (ISSN 0010-3616)